每日一题[653]带发修行

已知函数$f(x)=a\ln x-\dfrac 12x^2+bx$存在极小值，且对于$b$的所有可能取值，$f(x)$的极小值恒大于$0$，则$a$的最小值为_______．

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分析与解　根据题意，$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac{-x^2+bx+a}{x},$$ 设函数$f(x)$的极小值点为$x=m$，则$-m^2+bm+a=0$，且$0<m<\sqrt{-a}$．于是$f(x)$的极小值 $$\varphi(m)=a\ln m-\dfrac 12m^2+bm=a\ln m+\dfrac 12m^2-a,$$ 而$\varphi(m)$的导函数 $$\varphi'(m)=\dfrac{a}{m}+m<0,$$ 于是$\varphi(m)$满足 $$\varphi(\sqrt{-a})=a\ln \sqrt{-a}-\dfrac 32a\geqslant 0,$$ 解得$a\geqslant -{\rm e}^3$，因此$a$的最小值为$-{\rm e}^3$．