求$\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$的个位数．
分析与解 注意到$5+\sqrt{22}$是方程$x^2-10x+3=0$的一个根，因此构造递推数列$$a_{n+2}=10a_{n+1}-3a_n,$$使得$$a_n=\left(5+\sqrt{22}\right)^n+\left(5-\sqrt{22}\right)^n,$$则$a_1=10$，$a_2=94$．因此$$a_{n+2}\equiv -3a_n\pmod{10},$$因此奇数项的个位数均为$0$，偶数项的个位数分别为$4,8,6,2,4,8,6,2,\cdots $，进而$a_{2016}$的个位数为$2$，因此$\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$的个位数为$1$．
最后给出一道练习：
求$\left(15+\sqrt{215}\right)^{20}+\left(15+\sqrt{215}\right)^{15}$的个位数．
解 构造通项为$$a_n=\left(15+\sqrt{215}\right)^n+\left(15-\sqrt{215}\right)^n$$的递推数列$a_{n+2}=30a_{n+1}-10a_n$，于是可得$a_{20}+a_{15}$的个位数为$0$，因此所求的个位数为$9$．