每日一题[640]居高临下

设无穷项数列$\{a_n\}$满足：$a_{n+1}a_n+3a_{n+1}+a_n+4=0$，若$a_{2016}$为数列$\{a_n\}$中的最小项，则$a_1$的取值范围是______．

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分析与解　考虑不动点方程为$x^2+4x+4=0$，因此不动点为$-2$，于是可以将数列递推公式改造为

$$\dfrac{1}{a_{n+1}+2}-\dfrac{1}{a_n+2}=1.$$ 设$f(x)=\dfrac{1}{x+2}$，则$\{f(a_n)\}$成公差为$1$的等差数列，如图． 因此由$f(a_{2016})=f(a_1)+2015\in (-1,0)$，可得 $$-2016<\dfrac{1}{a_1+2}<-2015,$$ 解得$a_1$的取值范围是$\left(-\dfrac{4031}{2015},-\dfrac{4033}{2016}\right)$．