每日一题[606]仿射变换

已知$A,B,C$是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的三个定点，$O$为坐标原点，且直线$OC$平分弦$AB$．$P$为椭圆$E$上的动点，直线$PA,PB$分别交直线$OC$于点$M,N$，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$是否为定值?若为定值，求出该定值并证明；若不为定值，请说明理由．

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分析与解　注意到$O,M,N,C$四点共线，因此在伸缩变换$x=x',y=\dfrac{b}{a}y'$下，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$的值不会改变．因此只需要求出在圆$x'^2+y'^2=a^2$中对应的值即可．
由于圆的对称性，可以旋转图形使得直线$OC'$与$x$轴重合，如图．设$A'(x_1,y_1)$，$B'(x_1,-y_1)$，$P'(x_2,y_2)$，则

$$\begin{split} \dfrac{|OM'|\cdot |ON'|}{|OC'|^2}=&\left|\dfrac{\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}\cdot \dfrac{x_1y_2+x_2y_1}{y_2+y_1}}{a^2}\right|\\=&\left|\dfrac{(a^2-y_1^2)y_2^2-(a^2-y_2^2)y_1^2}{a^2(y_2^2-y_1^2)}\right|=1,\end{split}$$ 为定值．因此在原问题中，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$为定值$1$．