设a,b为实数,且|a|+|b|<1,方程x2+ax+b=0存在两个实根α,β,求证:|α|<1且|β|<1.
分析与证明 不等式方法一
根据题意有|α+β|+|α⋅β|<1.
情形一 α⋅β⩾.此时|\alpha|+|\beta|=|\alpha+\beta|<1,因此原命题得证.
情形二 \alpha\cdot \beta< 0.不妨设|\alpha|\geqslant |\beta|,则|\alpha|-|\beta|+|\alpha|\cdot |\beta|<1,即(|\alpha|-1)(|\beta|+1)<0,从而|\alpha|<1,原命题得证.
综上所述,原命题成立.
不等式方法二 根据题意,方程的根为\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2,而\begin{split} \left|\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2\right|\leqslant &\dfrac{|a|+\sqrt{a^2+4|b|}}2\\<&\dfrac{|a|+\sqrt{a^2+4(1-|a|)}}2\\=&\dfrac{|a|+2-|a|}2=1,\end{split} 原命题得证.
函数方法 设f(x)=x^2+ax+b,则其对称轴x=-\dfrac a2在区间(-1,1)内,且\begin{cases} f(1)=1+a+b>|a|+|b|+a+b\geqslant 0,\\ f(-1)=1-a+b>|a|+|b|-a+b\geqslant 0,\end{cases} 因此原命题得证.