设$a,b$为实数，且$|a|+|b|<1$，方程$x^2+ax+b=0$存在两个实根$\alpha,\beta$，求证：$|\alpha|<1$且$|\beta|<1$．
分析与证明 不等式方法一
根据题意有$|\alpha+\beta|+|\alpha\cdot\beta|<1$．
情形一 $\alpha\cdot \beta\geqslant 0$．此时$|\alpha|+|\beta|=|\alpha+\beta|<1$，因此原命题得证．
情形二 $\alpha\cdot \beta< 0$．不妨设$|\alpha|\geqslant |\beta|$，则$$|\alpha|-|\beta|+|\alpha|\cdot |\beta|<1,$$即$$(|\alpha|-1)(|\beta|+1)<0,$$从而$|\alpha|<1$，原命题得证．
综上所述，原命题成立．
不等式方法二 根据题意，方程的根为$\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2$，而$$\begin{split} \left|\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2\right|\leqslant &\dfrac{|a|+\sqrt{a^2+4|b|}}2\\<&\dfrac{|a|+\sqrt{a^2+4(1-|a|)}}2\\=&\dfrac{|a|+2-|a|}2=1,\end{split} $$原命题得证．
函数方法 设$f(x)=x^2+ax+b$，则其对称轴$x=-\dfrac a2$在区间$(-1,1)$内，且$$\begin{cases} f(1)=1+a+b>|a|+|b|+a+b\geqslant 0,\\ f(-1)=1-a+b>|a|+|b|-a+b\geqslant 0,\end{cases} $$因此原命题得证．