每日一题[605]条条大路通罗马

设$a,b$为实数，且$|a|+|b|<1$，方程$x^2+ax+b=0$存在两个实根$\alpha,\beta$，求证：$|\alpha|<1$且$|\beta|<1$．

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分析与证明　不等式方法一

根据题意有$|\alpha+\beta|+|\alpha\cdot\beta|<1$．

情形一　$\alpha\cdot \beta\geqslant 0$．此时$|\alpha|+|\beta|=|\alpha+\beta|<1$，因此原命题得证．

情形二　$\alpha\cdot \beta< 0$．不妨设$|\alpha|\geqslant |\beta|$，则

$$|\alpha|-|\beta|+|\alpha|\cdot |\beta|<1,$$ 即 $$(|\alpha|-1)(|\beta|+1)<0,$$ 从而$|\alpha|<1$，原命题得证．

综上所述，原命题成立．

不等式方法二　根据题意，方程的根为$\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2$，而

$$\begin{split} \left|\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2\right|\leqslant &\dfrac{|a|+\sqrt{a^2+4|b|}}2\\<&\dfrac{|a|+\sqrt{a^2+4(1-|a|)}}2\\=&\dfrac{|a|+2-|a|}2=1,\end{split}$$ 原命题得证．

函数方法　设$f(x)=x^2+ax+b$，则其对称轴$x=-\dfrac a2$在区间$(-1,1)$内，且

$$\begin{cases} f(1)=1+a+b>|a|+|b|+a+b\geqslant 0,\\ f(-1)=1-a+b>|a|+|b|-a+b\geqslant 0,\end{cases}$$ 因此原命题得证．