每日一题[603]按部就班

讨论函数$f(x)=x^2+2(1-a)x-4a$与函数$g(x)=\dfrac 1x-(a+1)^2$的图象的公切线条数．

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分析与解　函数$f(x)$的导函数为$f'(x)=2x+2(1-a)$，函数$g(x)$的导函数$g'(x)=-\dfrac 1{x^2}$，设公切线在$f(x)$和$g(x)$图象上的切点横坐标分别为$m,\dfrac 1n$($n\neq 0$)，则切线方程为

$$y=[2m+2(1-a)](x-m)+m^2+2(1-a)m-4a,$$ 同时亦为 $$y=-n^2\left(x-\dfrac 1n\right)+n-(a+1)^2,$$ 因此有 $$\begin{cases} 2m+2-2a=-n^2,\\ -m^2-4a=2n-(a+1)^2,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} n^2+2m=2(a-1),\\ m^2+2n=(a-1)^2,\end{cases}$$ 且每一组解$(m,n)$对应一条公切线．由第一个等式可得 $$m=-\dfrac 12n^2+(a-1),$$ 代入第二个等式并整理得 $$a-1=\dfrac 14n^2+\dfrac 2n,$$ 设$h(x)=\dfrac 14x^2+\dfrac 2x$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{x^3-4}{2x^2},$$ 于是函数$h(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$\left(0,\sqrt[3]{4}\right)$上单调递减，在$\left(\sqrt[3]{4},+\infty\right)$上单调递增，如图．
因此当$a<1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$时，只有$1$条公切线；当$a=1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$时，有$2$条公切线；当$a>1+\dfrac{3}{4^{\frac 13}}$时，有$3$条公切线．

注　解决切线问题的关键在于抓住切点列出方程(组)．