每日一题[593]看我七十二变

(2008年浙江卷理科数学第22题)已知数列$\{a_n\}$满足$a_n\geqslant 0$，$a_1=0$，且$a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$($n\in\mathcal N^*$)，$S_n$是数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$T_n=\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac 1{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}$．

(1) 求证：$a_n<a_{n+1}$；

(2) 求证：$S_n>n-2$；

(3) 求证：$T_n<3$．

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分析与解　(1) 根据题意，可设迭代函数

$$f(x)=\dfrac{-1+\sqrt{5+4x^2}}2,$$ 则$a_{n+1}=f(a_n)$，如图．由于$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，且$f(1)=1$，因此可得$0\leqslant a_n<a_{n+1}<1$，$n\in\mathcal N^*$．

(2) 根据已知，当$n\geqslant 2$时，有

$$\begin{split} n-S_n&=(1-a_1)+(1-a_2)+(1-a_3)+\cdots +(1-a_n)\\ &=1+(a_2^2-a_1^2)+(a_3^2-a_2^2)+\cdots +(a_n^2-a_{n-1}^2)\\ &=1+a_n^2<2,\end{split}$$ 而当$n=1$时命题显然成立，因此原命题得证．

(3) 由$a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$可得

$$\dfrac{1}{1+a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}}{1+a_n^2},$$ 从而当$n\geqslant 2$时，有 $$\begin{split} &\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}\\=&\dfrac{a_2\cdot a_3\cdots a_n}{(1+a_1)(1+a_1^2)(1+a_2^2)\cdots (1+a_{n-1}^2)}\\ <&\dfrac{a_2\cdot a_3\cdots a_n}{2a_2\cdots 2a_{n-1}}\\=&\dfrac{a_n}{2^{n-2}}<\dfrac{1}{2^{n-2}},\end{split}$$ 因此有 $$T_n<1+1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac{1}{2^{n-2}}<3,$$ 原命题得证．

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注　利用递推式变形进行放缩往往比利用不动点改造递推公式放缩有效．第(1)题方法很多，比如：因为

$$a_{{n+1}}^{2}+a_{n+1}-2=(a_{n+1}-1)(a_{n+1}+2)=(a_n-1)(a_n+1),$$ 所以$a_n-1$的正负一直不变，因为$a_1-1<0$，所以有$a_n<1$．于是由$a_{n+1}^2-a_n^2=1-a_{n+1}>0$得$a_{n+1}>a_n$．