每日一题[592]整体代换

已知$x\in [0,3]$，则$\dfrac{\sqrt{2x^3+7x^2+6x}}{x^2+4x+3}$的最大值是_____．

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分析与解　法一　当$x=0$时，原式值为$0$；当$x\ne 0$时，由于

$$\begin{split} \dfrac{\sqrt{2x^3+7x^2+6x}}{x^2+4x+3}=&\dfrac{\sqrt{2x+7+\dfrac 6x}}{x+4+\dfrac 3x}\\=&\dfrac{t}{\dfrac{t^2+1}2}=\dfrac{2}{t+\dfrac 1t},\end{split}$$ 其中$t=\sqrt{2x+7+\dfrac{6}x}$．因为$x\in (0,3]$，于是$t$的取值范围是$\left[2+\sqrt 3,+\infty\right)$，进而可得$t+\dfrac 1t$的取值范围是$[4,+\infty)$，于是原式的最大值为$\dfrac 12$，当$x=\sqrt 3$时取得．

法二　对所求代数式进行变形得

$$\begin{split} \dfrac{\sqrt{2x^3+7x^2+6x}}{x^2+4x+3}=&\dfrac{\sqrt{2x(x^2+4x+3)-x^2}}{x^2+4x+3}\\=&\sqrt{\dfrac {2x}{x^2+4x+3}-\left(\dfrac {x}{x^2+4x+3}\right)^2},\end{split}$$ 于是令$t=\dfrac{x}{x^2+4x+3}$，则所求代数式为 $$\sqrt{2t-t^2}=\sqrt{1-(t-1)^2}.$$ 当$x=0$时，$t=0$；当$x\ne 0$时，有 $$t=\dfrac {1}{x+\dfrac 3x+4}\leqslant \dfrac {1}{2\sqrt 3+4}=\dfrac {2-\sqrt 3}{2},$$ 综上知$t\in\left[0,\dfrac {2-\sqrt 3}{2}\right]$，当$t=\dfrac {2-\sqrt 3}{2}$时，所求代数式有最大值$\dfrac 12$，此时$x=\sqrt 3$．