每日一题[576]极值点偏移

已知$0<x_1<x_2$且$x_1+x_2=6$，$f(x)=\dfrac{x^3}{{\rm e}^x}$，求证：$f(x_1)<f(x_2)$．

分析与证明　法一（A-L-G不等式）

只需要证明$\ln f(x_1)< \ln f(x_2)$，即 $$3\ln x_1-x_1<3\ln x_2-x_2,\ \text{即} \ \dfrac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}<3,$$ 根据A-L-G不等式，有 $$\dfrac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}<\dfrac{x_1+x_2}2=3,$$ 因此原命题得证．

法二（对称化）

设$g(x)=3\ln x-x$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac 3x-1,$$ $h(x)=g(x)-g(6-x)$，则其导函数 $$h'(x)=g'(x)+g'(6-x)=\dfrac 3x+\dfrac 3{6-x}-2\geqslant \dfrac{(\sqrt 3+\sqrt 3)^2}{x+(6-x)}-2=0,$$ 其中用到柯西不等式．因此$h(x)$单调递增，结合$h(3)=0$，因此有当$x\in (0,3)$时，$g(x)<g(6-x)$，原命题得证．

注　本题中，先取对数可以有效的简化后续的运算．