每日一题[570]平分秋色

从数字$1,2,3,4,5$中任意取$4$个组成四位数，则这些四位数的平均数是_______．

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分析与解　显然共能组成${\rm A}_5^4=120$个四位数，设为

$$\overline{a_ib_ic_id_i}(i=1,2,\cdots ,120),$$ 接下来有两种切入方式，配对以及按列求和．

配对　这$120$个数可以按$\overline{abcd}$与$\overline{(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)}$的方式两两配对，如$1435$和$5231$．因此所有四位数的平均数为

$$\dfrac {6666\times 60}{120}=3333.$$

按列求和　将这$120$个数依次写下：

$$\begin{matrix}a_1&b_1&c_1&d_1\\ a_2&b_2&c_2&d_2\\ \cdots &\cdots &\cdots & \cdots\\ a_{120}&b_{120}&c_{120}&d_{120}\end{matrix}$$ 每一列中$1,2,3,4,5$的个数均为$24$，于是每一位的平均数为 $$\dfrac{24(1+2+3+4+5)}{120}=3,$$ 因此所有四位数的平均数为$3333$．

思考与总结　利用这些四位数在形式上的对称进行求和．

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最后给出一道练习：

从数字$0,1,2,3,4$中任意取$4$个组成四位数，则这些四位数的平均数是______．

答案　$\dfrac{21665}8$
提示　按列求和，第一位平均数为$\dfrac{24(1+2+3+4)}{96}$，第2,3,4位平均数为$\dfrac{18(1+2+3+4)}{96}$．