已知函数f(x)=ex(x2+ax+a).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的不等式f(x)⩽ea在[a,+∞)上有解,求实数a的取值范围;
(3)若曲线y=f(x)存在两条互相垂直的切线,求实数a的取值范围(只需直接写出结果).
分析与解 函数f(x)的导函数f′(x)=ex(x+a)(x+2).
(1)当a=1时,函数f(x)的导函数f′(x)=ex(x+1)(x+2),于是函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−2)和(−1,+∞);单调递减区间为(−2,−1).
(2)先考虑f(a)=ea(2a2+a),显然当−1⩽a⩽12时,f(a)⩽ea,接下来研究其他情形.
当a<−1时,函数f(x)在(−∞,−2)和(−a,+∞)上单调递增;在(−2,−a)上单调递减,因此函数f(x)在[a,+∞)上的最小值必然为min.考虑到f(a)>{\rm e}^a,又f(-a)={\rm e}^{-a}\cdot a<0<{\rm e}^{a},因此符合题意.
当a>\dfrac 12时,无论-a与-2的大小关系如何,均有函数f(x)在[a,+\infty)上单调递增.又f(a)>{\rm e}^a,因此不符合题意.
综上所述,实数a的取值范围是\left(-\infty,\dfrac 12\right].
(3)由于f'(x)的取值无上界,因此只需要存在负的函数值即可,因此a的取值范围是(-\infty,2)\cup (2,+\infty).
注 (2)还可以利用x^2+ax+a\leqslant {\rm e}^{a-x}\leqslant 1,得到必要条件a\leqslant \dfrac 12,再论证充分性.