每日一题[535]缩小包围圈

已知函数f(x)=ex(x2+ax+a)

(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若关于x的不等式f(x)[a,+\infty)上有解,求实数a的取值范围;

(3)若曲线y=f(x)存在两条互相垂直的切线,求实数a的取值范围(只需直接写出结果).


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分析与解    函数f(x)的导函数f'(x)={\rm e}^x(x+a)(x+2).

(1)当a=1时,函数f(x)的导函数f'(x)={\rm e}^x(x+1)(x+2),于是函数f(x)的单调递增区间为(-\infty,-2)(-1,+\infty);单调递减区间为(-2,-1)

(2)先考虑f(a)={\rm e}^a(2a^2+a),显然当-1\leqslant a\leqslant \dfrac 12时,f(a)\leqslant {\rm e}^a,接下来研究其他情形.

a<-1时,函数f(x)(-\infty,-2)(-a,+\infty)上单调递增;在(-2,-a)上单调递减,因此函数f(x)[a,+\infty)上的最小值必然为\min\{f(a),f(-a)\}.考虑到f(a)>{\rm e}^a,又f(-a)={\rm e}^{-a}\cdot a<0<{\rm e}^{a},因此符合题意.

a>\dfrac 12时,无论-a-2的大小关系如何,均有函数f(x)[a,+\infty)上单调递增.又f(a)>{\rm e}^a,因此不符合题意.

综上所述,实数a的取值范围是\left(-\infty,\dfrac 12\right]

(3)由于f'(x)的取值无上界,因此只需要存在负的函数值即可,因此a的取值范围是(-\infty,2)\cup (2,+\infty)

   (2)还可以利用x^2+ax+a\leqslant {\rm e}^{a-x}\leqslant 1,得到必要条件a\leqslant \dfrac 12,再论证充分性.

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