每日一题[534]函数图象与曲线

已知$f(x)$是定义在$\mathcal R$上的周期为$2$的偶函数，且当$x\in [0,1]$时，$f(x)=x+1$，则方程$f^2(x)+f(x)=x$的根的个数为_______．

分析    可以将方程$f^2(x)+f(x)=x$的根的个数即函数$y=f(x)$的图象与方程$y^2+y=x$的曲线的交点的横坐标的不同取值个数，也即交点个数．

解    根据函数$f(x)$的奇偶性与周期性，作图如下．

注意到抛物线$y^2+y=x$以$\left(-\dfrac 14,-\dfrac 12\right)$为顶点，以$y=-\dfrac 12$为对称轴，且经过点$(0,0)$，$(2,1)$，$(6,2)$，因此抛物线$y^2+y=x$与函数$y=f(x)$的图象共有$4$个交点，所求的根的个数为$4$．

注　本题中$f(x)\in [1,2]$，所以题中方程等价于$f(x)=\sqrt{x+\dfrac 14}-\dfrac 12$．