每日一题[525]蝉蜕

已知定义域为R的函数f(x)=2x+b2x+1+a是奇函数,求a,b的值.


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解法一    根据奇函数的定义,有xR,f(x)+f(x)=0,

xR,2x+b2x+1+a+2x+b2x+1+a=0,
也即xR,(a+2b)(2x+2x)+2ab+4=0,
于是{a+2b=0,2ab+4=0,
解得a=2b=1

回顾解法,感觉该解法笨重,考虑利用特殊点代替一般情形,这样就得到下面的解法:

解法二    由于对任意实数x,均有f(x)+f(x)=0,因此{f(0)=0,f(1)+f(1)=0.

由第一个方程可得b=1,代入第二个方程有1a+412a+2=0,
解得a=2

回顾解法,想一想,还有没有比f(1),f(1)更好计算的函数值呢?

解法三    在令x=0得到b=1后,考虑到limx+f(x)=12,limxf(x)=1a,

因此a=2,如图.

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