已知定义域为R的函数f(x)=2x+b2x+1+a是奇函数,求a,b的值.
解法一 根据奇函数的定义,有∀x∈R,f(x)+f(−x)=0,
即∀x∈R,2x+b2x+1+a+2−x+b2−x+1+a=0,
也即∀x∈R,(a+2b)(2x+2−x)+2ab+4=0,
于是{a+2b=0,2ab+4=0,
解得a=2,b=−1.
回顾解法,感觉该解法笨重,考虑利用特殊点代替一般情形,这样就得到下面的解法:
解法二 由于对任意实数x,均有f(x)+f(−x)=0,因此{f(0)=0,f(1)+f(−1)=0.
由第一个方程可得b=−1,代入第二个方程有1a+4−12a+2=0,
解得a=2.
回顾解法,想一想,还有没有比f(1),f(−1)更好计算的函数值呢?
解法三 在令x=0得到b=−1后,考虑到limx→+∞f(x)=12,limx→−∞f(x)=−1a,
因此a=2,如图.