每日一题[525]蝉蜕

已知定义域为$\mathcal R$的函数$f(x)=\dfrac{2^x+b}{2^{x+1}+a}$是奇函数，求$a,b$的值．

解法一    根据奇函数的定义，有 $$\forall x\in \mathcal R,f(x)+f(-x)=0,$$ 即 $$\forall x\in\mathcal R,\dfrac{2^x+b}{2^{x+1}+a}+\dfrac{2^{-x}+b}{2^{-x+1}+a}=0,$$ 也即 $$\forall x\in\mathcal R,(a+2b)\left(2^x+2^{-x}\right)+2ab+4=0,$$ 于是 $$\begin{cases} a+2b=0,\\ 2ab+4=0,\end{cases}$$ 解得$a=2$，$b=-1$．

回顾解法，感觉该解法笨重，考虑利用特殊点代替一般情形，这样就得到下面的解法：

解法二    由于对任意实数$x$，均有$f(x)+f(-x)=0$，因此 $$\begin{cases} f(0)=0,\\ f(1)+f(-1)=0.\end{cases}$$ 由第一个方程可得$b=-1$，代入第二个方程有 $$\dfrac{1}{a+4}-\dfrac{1}{2a+2}=0,$$ 解得$a=2$．

回顾解法，想一想，还有没有比$f(1),f(-1)$更好计算的函数值呢？

解法三    在令$x=0$得到$b=-1$后，考虑到 $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac 12,\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\dfrac 1a,$$ 因此$a=2$，如图．