每日一题[497]发现不变量

如图，圆$O$的半径为$r$，直角三角形$ABC$的顶点$A,B$在圆$O$上，$\angle B$为直角，$\angle A$的大小为$\theta$，$C$在圆内部（包括边界）．当点$A$在圆$O$上运动时，$OC$的最小值为_______．

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分析    延长$AC$交圆$O$于$D$，则由于$\angle A$的大小为定值，于是$D$为定点，且$\angle DCB=\dfrac{\pi}2+\theta$为定值，所以$C$的轨迹是圆弧．

解    设$C$点的轨迹所在的圆圆心为$I$，半径为$r'$，则由于

$$\dfrac 12BD=r\sin \theta,\dfrac 12\angle BID=\pi -\angle BCD=\dfrac{\pi}2-\theta,$$ 因此 $$r'=r\tan\theta,$$ 而 $$OI=r\cos\theta+r'\cos\left(\dfrac{\pi}2-\theta\right)=r\cos\theta+r'\sin\theta,$$ 于是$OC$的最小值为 $$r\cos\theta+r'\sin\theta-r'=\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\cdot r.$$