每日一题[68] 三角形的欧拉线

已知三角形$ABC$的顶点$A(-2,0)$，$B(0,4)$，欧拉线所在的方程为$l:x+y-2=0$，则顶点$C$的坐标是_______．（注：三角形的欧拉线指以三角形的外心$O$和垂心$H$为端点的线段，且有$2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GH}$，其中$G$为三角形的重心．）

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正确的答案是$(4,0)$．

如图，$AB$的中点记为$M(-1,2)$，于是线段$AB$的垂直平分线方程

$$OM:y=-\dfrac 12x+\dfrac 32,$$ 与欧拉线$l$的方程联立可得外心$O(1,1)$．

设顶点$C(m,n)$，则由$2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GH}$可得

$$\overrightarrow{CH}=2\overrightarrow{OM}=(-4,2),$$ 于是垂心$H(m-4,n+2)$．

垂心$H$的坐标满足欧拉线$l$的方程，因此

$$m+n=4.\qquad\cdots (*)$$

同时$AH\perp BC$，于是

$$(m-2,n+2)\cdot (m,n-4)=0,$$ 即 $$m^2-2m+n^2-2n-8=0.\qquad\cdots (**)$$

由(*)(**)解得

$$m=4\land n=0,$$ 于是顶点$C$的坐标为$(4,0)$．