每日一题[68] 三角形的欧拉线

已知三角形\(ABC\)的顶点\(A(-2,0)\)，\(B(0,4)\)，欧拉线所在的方程为\(l:x+y-2=0\)，则顶点\(C\)的坐标是_______．（注：三角形的欧拉线指以三角形的外心\(O\)和垂心\(H\)为端点的线段，且有\(2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GH}\)，其中\(G\)为三角形的重心．）

正确的答案是\((4,0)\)．

如图，\(AB\)的中点记为\(M(-1,2)\)，于是线段\(AB\)的垂直平分线方程\[OM:y=-\dfrac 12x+\dfrac 32,\]与欧拉线\(l\)的方程联立可得外心\(O(1,1)\)．

设顶点\(C(m,n)\)，则由\(2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{GH}\)可得\[\overrightarrow{CH}=2\overrightarrow{OM}=(-4,2),\]于是垂心\(H(m-4,n+2)\)．

垂心\(H\)的坐标满足欧拉线\(l\)的方程，因此\[m+n=4.\qquad\cdots (*)\]

同时\(AH\perp BC\)，于是\[(m-2,n+2)\cdot (m,n-4)=0,\]即\[m^2-2m+n^2-2n-8=0.\qquad\cdots (**)\]

由(*)(**)解得\[m=4\land n=0,\]于是顶点\(C\)的坐标为\((4,0)\)．