每日一题[496]一类递推数列的通项

已知正数数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$．

（1）若$a_n=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right)$，求$\{a_n\}$的通项公式；

（2）若$a_{n+1}=\sqrt{1+S_n+S_n^2}$，求$\{a_n\}$的通项公式．

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分析与解    （1）根据题意有

$$2(S_{n+1}-S_n)=S_{n+1}+\dfrac{1}{S_{n+1}},$$ 于是 $$S_n=\dfrac{S_{n+1}^2-1}{2S_{n+1}}.$$ 联想三角公式 $$\cot 2\theta=\dfrac{\cot^2\theta-1}{2\cot \theta},$$ 于是设 $$S_n=\cot \theta_n,\theta_n\in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right ),$$ 则有$\theta_n=2\theta_{n+1}$．由于$S_1=a_1=1$，因此$\theta_1=\dfrac{\pi}4$，因此 $$\theta_n=\dfrac{\pi}{2^{n+1}},$$ 于是 $$a_n=\dfrac{S_n^2+1}{2S_n}=\dfrac{1+\tan^2\theta_n}{2\tan\theta_n}=\dfrac{1}{\sin 2\theta_n}=\dfrac{1}{\sin\dfrac{\pi}{2^n}}.$$

（2）根据题意有

$$(S_{n+1}-S_n)^2=1+S_n+S_n^2,$$ 整理得 $$S_n=\dfrac{S_{n+1}^2-1}{2S_{n+1}+1},$$ 与之前得到的递推公式类似，但需要调整．

首先处理分母，有

$$\begin{split} S_n+\dfrac 12&=\dfrac{\left(S_{n+1}+\dfrac 12\right)^2-\left(S_{n+1}+\dfrac 12\right)-\dfrac 34}{2\left(S_{n+1}+\dfrac 12\right)}+\dfrac 12\\ &=\dfrac{\left(S_{n+1}+\dfrac 12\right)^2-\dfrac 34}{2\left(S_{n+1}+\dfrac 12\right)},\end{split}$$ 然后处理分子，有 $$\dfrac 2{\sqrt 3}\left(S_n+\dfrac 12\right)=\dfrac{\left[\dfrac 2{\sqrt 3}\left(S_{n+1}+\dfrac 12\right)\right]^2-1}{2\left[\dfrac 2{\sqrt 3}\left(S_{n+1}+\dfrac 12\right)\right]},$$ 与上一小题类似，设 $$\dfrac{2}{\sqrt 3}\left(S_n+\dfrac 12\right)=\cot \theta_n,\theta_n\in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right ),$$ 则有$\theta_n=2\theta_{n+1}$．由于$S_1=a_1=1$，因此$\theta_1=\dfrac{\pi}6$，因此 $$\theta_n=\dfrac{\pi}{3\cdot 2^n},$$ 于是 $$S_n=\dfrac{\sqrt 3}2\cot\theta_n-\dfrac 12,$$ 从而当$n\geqslant 2$时，有 $$a_n=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot\left(\dfrac{1}{\tan \theta_n}-\dfrac{1}{\tan 2\theta_n}\right)=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac{1}{\sin 2\theta_n}=\dfrac{\sqrt 3}{2\sin{\dfrac{\pi}{3\cdot 2^{n-1}}}}.$$

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解题结束之后可以发现两者的通项公式非常相似，我们尝试寻找共同点，因此改写第（1）小题的递推公式，为

$$a_{n+1}^2=1+S_n^2,$$ 可以利用图形解释如下．

因此第（2）小题也有图解法如下：

这样我们就可以得到若正数数列$\{a_n\}$满足

$$a_{n+1}^2=a_1^2+2\cos\theta\cdot a_1\cdot S_n+S_n^2,$$ 那么 $$a_n=\dfrac{a_1\sin\theta}{\sin\dfrac{\theta}{2^{n-1}}}.$$