每日一题[493]极值点偏移

已知$b>a>0$，且$b\ln a-a\ln b=a-b$，求证：

（1）$a+b-ab>1$；

（2）$a+b>2$；

（3）$\dfrac 1a+\dfrac 1b>2$．

证明    已知条件可以变形为 $$\dfrac{\ln a+1}{a}=\dfrac{\ln b+1}{b},$$ 因此$a,b$是函数$f(x)=\dfrac{\ln x+1}{x}$的图象与直线$y=m$的两个公共点的横坐标．

考虑函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2},$$ 于是函数$f(x)$有极大值点$x=1$，因此有$0<a<1<b$，从而 $$(a-1)(b-1)<0,$$ 即 $$a+b-ab>1,$$ 命题（1）得证．

设$b=at$，$t>1$，则有 $$\dfrac{\ln a+1}a=\dfrac{\ln a+\ln t+1}{at},$$ 解得 $$\ln a=\dfrac{\ln t}{t-1}-1,$$ 从而 $$\ln b=\ln a + \ln t=\dfrac{t\ln t}{t-1}-1,$$ 考虑到$t>1$时，有 $$\ln t>2\cdot\dfrac{t-1}{t+1},$$ 于是 $$\begin{split} a+b&>{\rm e}^{\frac {2}{t+1}-1}+{\rm e}^{\frac{2t}{t+1}-1}\\ &={\rm e}^{\frac{1-t}{t+1}}+{\rm e}^{\frac{t-1}{t+1}}\\ &>2,\end{split}$$ 于是$a+b>2$，命题（2）得证．

对于命题（3），将已知条件变形为 $$\dfrac 1a\left(-\ln\dfrac 1a+1\right)=\dfrac 1b\left(-\ln\dfrac 1b+1\right),$$ 于是$\dfrac 1a$和$\dfrac 1b$是函数$g(x)=x-x\ln x$的图象与直线$y=n$的两个公共点的横坐标．

考虑函数$g(x)$的导函数 $$g'(x)=-\ln x,$$ 于是函数$g(x)$有极大值点$x=1$，于是 $$0<\dfrac 1b<1<\dfrac 1a.$$ 对称化构造函数 $$h(x)=g(2-x)-g(x),$$ 其中$0<x<1$，则其导函数 $$h'(x)=\ln (2-x)+\ln x=\ln\big(x(2-x)\big)<0,$$ 于是$h(x)$在$(0,1]$上单调递减，因此$h(x)$在$(0,1)$上有 $$h(x)>h(1)=0,$$ 也即当$0<x<1$时，$g(2-x)>g(x)$．

这样就有 $$g\left(\dfrac 1a\right)=g\left(\dfrac 1b\right)<g\left(2-\dfrac 1b\right),$$ 而$g(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减，于是 $$\dfrac 1a>2-\dfrac 1b,$$ 即 $$\dfrac 1a+\dfrac 1b>2,$$ 命题（3）得证．

注　第（2）小题也可以用与第（3）小题类似的对称化构造的方法去证明．更多相关问题见每日一题[114]极值点不等式的几种常见处理方式．