每日一题[514]变异的椭圆

设封闭曲线$E_n:\dfrac{x^{2^n}}{a^2}+\dfrac{y^{2^n}}{b^2}=1$($a,b\geqslant 2$，$n\in\mathcal N^*$)所围成的面积为$S_n$，求证：$4<S_n\leqslant ab\pi$．

证明    当$n=1$时，封闭曲线为椭圆 $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$$ 考虑到在仿射变换$x=ax'$，$y=by'$下，该图形即圆 $$x'^2+y'^2=1,$$ 面积为$\pi$，因此$S_1=ab\pi$．

下面证明$\{S_n\}$单调递减，只需要证明曲线$E_n$上任意一点均在曲线$E_{n+1}$的外部，也即若$\dfrac{x^{2^n}}{a^2}+\dfrac{y^{2^n}}{b^2}=1$，则有 $$\dfrac{x^{2^{n+1}}}{a^2}+\dfrac{y^{2^{n+1}}}{b^2}>1.$$

这可以由柯西不等式证明，由于 $$1=\dfrac 1a\cdot \dfrac{x^{2^n}}{a}+\dfrac 1b\cdot \dfrac{y^{2^n}}{b}\leqslant\sqrt{\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}}\cdot\sqrt{\dfrac{x^{2^{n+1}}}{a^2}+\dfrac{y^{2^{n+1}}}{b^2}},$$ 而 $$\sqrt{\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}}<1,$$ 于是有 $$\sqrt{\dfrac{x^{2^{n+1}}}{a^2}+\dfrac{y^{2^{n+1}}}{b^2}}>1.$$

最后证明$S_n>4$，事实上，对于满足 $$-1\leqslant x\leqslant 1,-1\leqslant y\leqslant 1$$ 的任意一点$(x,y)$，均有 $$\dfrac{x^{2^n}}{a^2}+\dfrac{y^{2^n}}{b^2}\leqslant \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}<1,$$ 于是以$(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1)$为顶点的正方形及其内部的点都在$E_n$内部，于是$S_n>4$．

事实上，$4$是$\{S_n\}$的下确界，证明如下．

将曲线$E_n$的方程变形为 $$\left(\dfrac x{a^{\frac 1{2^{n-1}}}}\right)^{2^n}+\left(\dfrac y{b^{\frac 1{2^{n-1}}}}\right)^{2^n}=1,$$ 作仿射变换$x=a^{\frac 1{2^{n-1}}}x'$，$y=b^{\frac 1{2^{n-1}}}y'$．设封闭曲线$F_n$的方程为 $$x'^{2^n}+y'^{2^n}=1,$$ 其面积为$T_n$，则有 $$S_n=(ab)^{\frac 1{2^{n-1}}}T_n.$$

考虑到 $$T_n=4\int_0^1\left(1-x^{2^n}\right)^{\frac 1{2^n}}{\rm d}x,$$ 而 $$\lim_{n\to +\infty}\left(1-x^{2^n}\right)^{\frac 1{2^n}}=1,$$ 于是 $$\lim_{n\to +\infty}T_n=4,$$ 因此 $$\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}(ab)^{\frac 1{2^{n-1}}}\cdot \lim_{n\to +\infty}T_n=4.$$