已知正数数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}^2=\dfrac 13a_n^2+\dfrac 23a_n$，求证：$$a_1+a_2+\cdots+a_n>n-2.$$
证明 首先考虑不动点方程$$x^2=\dfrac 13x^2+\dfrac 23x,$$解得$x=0$或$x=1$．于是利用不动点改造递推数列，有$$1-a_{n+1}^2=(1-a_n)\left(1+\dfrac 13a_n\right),$$因此$$0<a_n<1,n\in\mathcal N^*,$$进而$$a_{n+1}^2-a_n^2=\dfrac 23a_n(1-a_n)>0,$$于是数列$\{a_n\}$单调递增趋于$1$．
欲证不等式即$$(1-a_1)+(1-a_2)+\cdots+(1-a_n)<2,$$考虑用等比放缩．
由改造后的递推公式可得$$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}=\dfrac{1+\dfrac 13a_n}{1+a_{n+1}}<\dfrac{1+\dfrac 13a_{n+1}}{1+a_{n+1}}\leqslant \dfrac{1+\dfrac 13a_2}{1+a_2}.$$由于$$a_2^2=\dfrac 13\cdot\dfrac 14+\dfrac 23\cdot\dfrac 12=\dfrac{5}{12}>\left(\dfrac 35\right)^2,$$因此可得$$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}<\dfrac 34.$$于是有$$\sum\limits_{i=1}^n(1-a_i)<\dfrac {\dfrac 12}{1-\dfrac 34}=2,$$因此命题得证．