每日一题[492]等比放缩

已知正数数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}^2=\dfrac 13a_n^2+\dfrac 23a_n$，求证：

$$a_1+a_2+\cdots+a_n>n-2.$$

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证明    首先考虑不动点方程

$$x^2=\dfrac 13x^2+\dfrac 23x,$$ 解得$x=0$或$x=1$．于是利用不动点改造递推数列，有 $$1-a_{n+1}^2=(1-a_n)\left(1+\dfrac 13a_n\right),$$ 因此 $$0<a_n<1,n\in\mathcal N^*,$$ 进而 $$a_{n+1}^2-a_n^2=\dfrac 23a_n(1-a_n)>0,$$ 于是数列$\{a_n\}$单调递增趋于$1$．

欲证不等式即

$$(1-a_1)+(1-a_2)+\cdots+(1-a_n)<2,$$ 考虑用等比放缩．

由改造后的递推公式可得

$$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}=\dfrac{1+\dfrac 13a_n}{1+a_{n+1}}<\dfrac{1+\dfrac 13a_{n+1}}{1+a_{n+1}}\leqslant \dfrac{1+\dfrac 13a_2}{1+a_2}.$$ 由于 $$a_2^2=\dfrac 13\cdot\dfrac 14+\dfrac 23\cdot\dfrac 12=\dfrac{5}{12}>\left(\dfrac 35\right)^2,$$ 因此可得 $$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}<\dfrac 34.$$ 于是有 $$\sum\limits_{i=1}^n(1-a_i)<\dfrac {\dfrac 12}{1-\dfrac 34}=2,$$ 因此命题得证．