每日一题[477]直击要害

已知$f(x)=(x^2+x)(x^2+ax+b)$满足对一切实数$x$，均有$f(x)=f(2-x)$，则函数$f(x)$的最小值为_______．

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分析    函数$f(x)$关于直线$x=1$对称，因此将$f(x)$向左平移一个单位后可以得到偶函数．我们熟知一个多项式函数如果是偶函数，那么一定不包含$x$的奇次项，也就是说此时这个四次函数必然为关于$x^2$的二次函数．

解    根据题意，函数$y=f(x+1)$是偶函数，而

$$\begin{split} f(x+1)&=[(x+1)^2+(x+1)]\cdot [(x+1)^2+a(x+1)+b] \\ &=(x^2+2+3x)\cdot g(x),\end{split}$$ 其中$g(x)$是一个二次项系数为$1$的二次多项式．不难得知，$g(x)=x^2+2-3x$，因此 $$f(x+1)=(x^2+2)^2-(3x)^2=x^4-5x^2+4\geqslant -\dfrac 94,$$ 当$x^2=\dfrac 52$时取得等号．因此函数$f(x)$的最小值，即函数$f(x+1)$的最小值，为$-\dfrac 94$．