每日一题[463]内接三角形

已知抛物线$y^2=4x$的内接三角形$ABC$的重心恰好是抛物线的焦点，求$\triangle ABC$面积的最大值．

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解    设$A(a^2,2a)$，$B(b^2,2b)$，$C(c^2,2c)$，则

$$a^2+b^2+c^2=3,a+b+c=0,$$ 于是 $$a+b=-c,ab=c^2-\dfrac 32,|a-b|=\sqrt{6-3c^2},$$ 从而 $$\begin{split} S&=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a&b&c\end{vmatrix}\\ &=|a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2| \\ &=\sqrt {6-3c^2}\cdot \left|3c^2-\dfrac 32\right|\\ &=\sqrt{\dfrac 12(12-6c^2)\cdot\left(3c^2-\dfrac 32\right)\cdot \left(3c^2-\dfrac 32\right)}\\ &\leqslant \dfrac{3\sqrt 6}2,\end{split}$$ 等号当$c^2=\dfrac 32$时取得，因此$\triangle ABC$面积的最大值为$\dfrac{3\sqrt 6}2$．