每日一题[61] 莫忘初衷

在平面直角坐标系$xOy$中，已知圆$O_1$，圆$O_2$均与$x$轴相切，且圆心$O_1,O_2$与原点$O$共线，$O_1,O_2$两点的横坐标之积为$5$．设圆$O_1$与圆$O_2$相交于$P$、$Q$两点，直线$l:2x-y-8=0$，则$P$到直线$l$的距离的最小值为_______．

 如图，不妨设圆$O_1$的半径小于圆$O_2$的半径．设$OP$与圆$O_1$的交点为$R$，那么弧$RA$与弧$PB$所对的圆周角相等，从而 $$\angle OAR=\angle OPA=\angle OBP,$$ 可得三角形$OAP$与三角形$OPB$相似，于是$OP^2=OA\cdot OB$为定值$5$．

这就意味着$P$点的轨迹是以$O$为圆心，$\sqrt 5$为半径的圆（去掉$x$轴上的两点），不难得到所求最小值为$\dfrac{3\sqrt 5}{5}$．