每日一题[61] 莫忘初衷

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知圆\(O_1\)，圆\(O_2\)均与\(x\)轴相切，且圆心\(O_1,O_2\)与原点\(O\)共线，\(O_1,O_2\)两点的横坐标之积为\(5\)．设圆\(O_1\)与圆\(O_2\)相交于\(P\)、\(Q\)两点，直线\(l:2x-y-8=0\)，则\(P\)到直线\(l\)的距离的最小值为_______．

 如图，不妨设圆\(O_1\)的半径小于圆\(O_2\)的半径．设\(OP\)与圆\(O_1\)的交点为\(R\)，那么弧\(RA\)与弧\(PB\)所对的圆周角相等，从而\[\angle OAR=\angle OPA=\angle OBP,\]可得三角形\(OAP\)与三角形\(OPB\)相似，于是\(OP^2=OA\cdot OB\)为定值\(5\)．

这就意味着\(P\)点的轨迹是以\(O\)为圆心，\(\sqrt 5\)为半径的圆（去掉\(x\)轴上的两点），不难得到所求最小值为\(\dfrac{3\sqrt 5}{5}\)．