每日一题[444]函数与方程

求函数$f(x)=\sin x\cdot\left(\sqrt{24+\cos^2x}-\cos x\right)$的值域．

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正确答案是$[-5,5]$．

解    显然函数$f(x)$是周期为$2\pi$的函数，且关于$(\pi,0)$中心对称，因此只需要考虑函数$f(x)$在$x\in\left[0,\pi\right]$上的取值范围．

当$x\in\left[0,\pi\right]$时，由$y=\sin x\cdot\left(\sqrt{24+\cos^2x}-\cos x\right)$可得

$$y\left(\sqrt{24+\cos^2x}+\cos x\right)=24\sin x,$$ 移项，平方整理得 $$y^2=24\sin^2x-2y\sin x\cos x,$$ 即 $$y\sin 2x+12\cos 2x=12-y^2,$$ 于是 $$\left(12-y^2\right)^2\leqslant y^2+12^2,$$ 解得 $$0\leqslant y\leqslant 5.$$

结合函数的性质，可得函数$f(x)$的值域为$[-5,5]$．

注    和含根式的函数往往可以利用判别式法求值域一样，含三角函数的根式函数也可以将函数看作是方程，通过求解使得方程有定义域上的解的$y$的范围去获得函数的值域．