每日一题[444]函数与方程

求函数f(x)=sinx(24+cos2xcosx)的值域.


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正确答案是[5,5]

   显然函数f(x)是周期为2π的函数,且关于(π,0)中心对称,因此只需要考虑函数f(x)x[0,π]上的取值范围.

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x[0,π]时,由y=sinx(24+cos2xcosx)可得y(24+cos2x+cosx)=24sinx,移项,平方整理得y2=24sin2x2ysinxcosx,ysin2x+12cos2x=12y2,于是(12y2)2y2+122,解得0y5.

结合函数的性质,可得函数f(x)的值域为[5,5]

   和含根式的函数往往可以利用判别式法求值域一样,含三角函数的根式函数也可以将函数看作是方程,通过求解使得方程有定义域上的解的y的范围去获得函数的值域.

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