求函数f(x)=sinx⋅(√24+cos2x−cosx)的值域.
正确答案是[−5,5].
解 显然函数f(x)是周期为2π的函数,且关于(π,0)中心对称,因此只需要考虑函数f(x)在x∈[0,π]上的取值范围.
当x∈[0,π]时,由y=sinx⋅(√24+cos2x−cosx)可得y(√24+cos2x+cosx)=24sinx,移项,平方整理得y2=24sin2x−2ysinxcosx,即ysin2x+12cos2x=12−y2,于是(12−y2)2⩽y2+122,解得0⩽y⩽5.
结合函数的性质,可得函数f(x)的值域为[−5,5].
注 和含根式的函数往往可以利用判别式法求值域一样,含三角函数的根式函数也可以将函数看作是方程,通过求解使得方程有定义域上的解的y的范围去获得函数的值域.