每日一题[440]对数之力

这是我在QQ群中国数学解题研究会里看到的题目：

已知$0.301029<\lg 2<0.301030$，$0.477120<\lg 3<0.477121$，求$2000^{1979}$的首位数字．

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正确答案是$5$．

分析    利用常用对数，我们可以方便的把一个方幂写成科学记数法形式的约数．比如由于$\lg 12^{34}\approx 36.692162$，于是

$$12^{34}\approx 4.922235\times 10^{36},$$ 其中$4.922235$是反查对数表得到的．有图有真相：

这个方法当然可以用来估计首位了，下面我们就试试看．

解    显然$2000^{1979}$的首位即$2^{1979}$的首位．

由于

$$2^{1979}=10^{1979\lg 2}\approx 10^{595.73836}=10^{0.73836}\times 10^{595},$$ 其中$10^{0.73836}$为$(1,10)$内的小数，$596$是$2^{1979}$的位数．又由于 $$1-\lg 2=\lg 5<0.73836<\lg 6=\lg 2+\lg 3,$$ 于是 $$5<10^{\{1979\lg 2\}}<6.$$ 因此$2^{1979}$的首位为$5$，也即${2000}^{1979}$的首位是$5$．

注　$\{1979\lg 2\}$表示$1979\lg 2$的小数部分，约为$0.73836$．