每日一题[426]向量分解的系数和

在扇形$AOB$中，$OA=OB=1$，$\angle AOB=\dfrac{\pi}3$，$C$为弧$AB$(不包含端点)上的一点，且$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$．

（1）求$x+y$的取值范围；

（2）若$t=x+\lambda y$存在最大值，求$\lambda$的取值范围．

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正确答案是（1）$\left(1,\dfrac 23\sqrt{3}\right ]$；（2）$\left(\dfrac 12,2\right )$．

分析    我们熟知，如果$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$是平面上的一组基底，且有$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，那么$x+y=1$与点$C$位于直线$AB$上等价．一般的，若$x+y=m$，那么$\dfrac xm+\dfrac ym=1$，于是

$$\overrightarrow{OC}=\dfrac xm\left(m\overrightarrow{OA}\right)+\dfrac ym\left(m\overrightarrow{OB}\right),$$ 于是点$C$位于直线$PQ$上，其中$P$和$Q$分别为有向线段$m\overrightarrow{OA}$和有向线段$m\overrightarrow{OB}$的终点．容易知道，当$m$变化时，直线$PQ$为一系列平行线，此即“向量分解的等系数和线”．利用等系数和线可以方便的处理很多与系数和有关的问题．

解    示意图如下．

（1）如左图，$C$所在的弧$AB$在$m=1$和$m=\dfrac 2{\sqrt 3}$的两条等系数和线之间（包括$MN$，不包括$AB$），于是$x+y$的取值范围是$\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$．

（2）如右图，将已知条件改写为

$$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+\lambda y\left(\dfrac 1{\lambda}\overrightarrow{OB}\right),$$ 于是$t$所对应的等系数和线是一系列与直线$AP$平行的直线，其中$P$为向量$\dfrac 1{\lambda}\overrightarrow{OB}$的终点．

由于$t$有最大值，于是其对应的一系列等系数和线中必然存在与弧$AB$相切的一条，因此$P$位于线段$MN$上（不包括端点），其中$AM$与$B$处的切线平行，$AN$为$A$处的切线．从而易得$\lambda$的取值范围是$\left(\dfrac 12,2\right)$．

更多相关问题见每日一题[194]向量分解的系数和、每日一题[14]共圆的向量表达．