每日一题[411]一图在手

设偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=x^3-8,x\geqslant 0$ ，则 $f(x-2)>0$ 的解集为_____．

正确答案是 $(-\infty,0)\cup (4,+\infty)$ ．

　根据题目的条件 $f(x)$ 的草图很容易画出：

于是知

$x-2>2 \lor x-2<-2,$ 解得

$x>4 \lor x<0$ ．

遇到与函数的单调性与奇偶性相关的问题要多借助图象思考，一般情况下不会直接去求解析式，因为解析式往往只是性质的一个载体．另外，画草图过程中注意与解题相关的特征，其它特征可以忽略，比如在函数不等式相关的问题中往往零点与单调性是重要的，不能出错的，但凹凸性通常是不重要的，所以只需要画出正负的示意图即可．

下面给出一道练习：

定义在 $\mathcal{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,0)$ 上单调递减， $f(2)=0$ ，则不等式 $(x-1)f(x)>0$ 的解集为_____， $xf(x-1)>0$ 的解集为_____．

　 $(-2,0)\cup (1,2)$ ； $(-1,0)\cup (1,3)$ ；

　 $y=f(x)$ 与 $y=x-1$ 的示意图如下：

其中第二个不等式可以先换元，也可以画出 $y=f(x-1)$ 的图象．

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