每日一题[414]迭代函数法与不动点法

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}2a_n\right)$($n\in\mathcal N^*$)，$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，求证：$S_n>n-\dfrac 52$．

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分析    利用迭代函数研究数列，可得$\{a_n\}$单调递增，极限为$1$，如图．

于是可以考虑利用$1$这个不动点优化递推公式，从而探索可能的放缩方式．

解    根据已知，有

$$1-a_{n+1}=1-\sin\left(\dfrac{\pi}2a_n\right),$$ 令$b_n=1-a_n$，且数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，则只需要证明 $$T_n<\dfrac 52.$$

此时已知条件变为

$$\begin{split} b_{n+1}&=1-\sin\left(\dfrac{\pi}2-\dfrac{\pi}2b_n\right) \\ &= 1-\cos\left(\dfrac{\pi}2b_n\right) \\ &=2\sin^2\left(\dfrac{\pi}4b_n\right) \\ &<\dfrac{\pi^2}8\cdot b_n^2\leqslant \dfrac{{\pi}^2}{16}\cdot b_n,\end{split}$$ 因此 $$T_n<\dfrac{\dfrac 12}{1-\dfrac{\pi^2}{16}}=\dfrac{8}{16-\pi^2}<1.305<\dfrac 52,$$ 原命题得证．