编者按 本文作者凯凯,由meiyun编辑修改.
已知函数f(x)=x−1ex.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>4.
解 (1)比较简单,对f(x)求导得f′(x)=2−xex,所以f(x)在(−∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,有极大值f(2)=e−2,无极小值;
下面分析(2):我们知道对于二次函数来说,如果两个自变量对应函数值相等,那么这两个自变量的和为定值,这是由二次函数的对称性与单调性决定的.本题中函数的单调性与二次函数类似,我们先从直观上理解一下第(2)题结论的含义:
由(1)知,在函数f(x)的图象上,x=2相当于山顶,在x=2的两侧,函数图象的“陡峭程度”是不同的(因为分母ex对应的值不同),左侧更陡峭,右侧更平缓,所以这两侧对应的点如果在同一海拔上,则右侧的点离山顶的“水平”距离更远.好像两条下山的路,更平缓的路更远一样.
要严格证明这个问题,我们可以将x=2左侧的图象对称到右侧去,比较对称过去的函数与原来函数的大小关系得到结果.函数f(x)的草图如下:
令h(x)=f(4−x),x⩾2,F(x)=f(x)−h(x)=x−1ex−3−xe4−x,x⩾2则F′(x)=(2−x)(e−x−ex−4)⩾0,所以F(x)在[2,+∞)上单调递增,而F(2)=0,所以F(x)⩾0,即f(x)>h(x)=f(4−x).不妨设x1<x2,则有x1<2<x2,于是f(x2)=f(x1)=h(4−x1)<f(4−x1),而f(x)在(2,+∞)上单调递减,所以x2>4−x1,即x1+x2>4.
本题通过“桥梁”h(x)将不在同一个单调区间的自变量转移到同一个单调区间中去,从而可以通过函数值的大小关系得到自变量的大小关系,这个思路也是此类问题的常用思路.
下面给出一组练习:
练习1 已知函数f(x)=x−11+x2ex.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2<0.
练习2 已知函数f(x)=ex−x,若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2<0.
练习3 已知函数f(x)=lnx−12ax2+(a−1)x−32a(a>3),若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2.
提示 对于已知f(x1)=f(x2),证明x1+x2>m时,尝试构造函数g(x)=f(m−x),x⩾m2,比较f(x)与g(x)的大小关系,再通过f(x2)=f(x1)=g(m−x1)以及“g(m−x1)与f(m−x1)的大小关系”得到f(m−x1)与f(x2)的大小关系,最终得到m−x1与x2的大小关系,得到结论.
固然,老师,这样做差是这类问题的通法,但是遇到特别麻烦的函数就不好处理了,那样的话,还有他路可走吗?
那么,老师,要是遇到类似x1*x2大于e平方这样的,构造自变量商的函数似乎不好用。。那怎么去做呢
这个得请教@meiyun ,取对数后换元应该也可行.