每日一题[389]桥梁函数

编者按 本文作者凯凯,由meiyun编辑修改.

已知函数f(x)=x1ex

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)若x1x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>4


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 (1)比较简单,对f(x)求导得f(x)=2xex,所以f(x)(,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,有极大值f(2)=e2,无极小值;

下面分析(2):我们知道对于二次函数来说,如果两个自变量对应函数值相等,那么这两个自变量的和为定值,这是由二次函数的对称性与单调性决定的.本题中函数的单调性与二次函数类似,我们先从直观上理解一下第(2)题结论的含义:

由(1)知,在函数f(x)的图象上,x=2相当于山顶,在x=2的两侧,函数图象的“陡峭程度”是不同的(因为分母ex对应的值不同),左侧更陡峭,右侧更平缓,所以这两侧对应的点如果在同一海拔上,则右侧的点离山顶的“水平”距离更远.好像两条下山的路,更平缓的路更远一样.

要严格证明这个问题,我们可以将x=2左侧的图象对称到右侧去,比较对称过去的函数与原来函数的大小关系得到结果.函数f(x)的草图如下:

屏幕快照 2016-02-03 上午11.34.26

h(x)=f(4x),x2,F(x)=f(x)h(x)=x1ex3xe4x,x2F(x)=(2x)(exex4)0,所以F(x)[2,+)上单调递增,而F(2)=0,所以F(x)0,即f(x)>h(x)=f(4x).不妨设x1<x2,则有x1<2<x2,于是f(x2)=f(x1)=h(4x1)<f(4x1),f(x)(2,+)上单调递减,所以x2>4x1,即x1+x2>4

本题通过“桥梁”h(x)将不在同一个单调区间的自变量转移到同一个单调区间中去,从而可以通过函数值的大小关系得到自变量的大小关系,这个思路也是此类问题的常用思路.


下面给出一组练习:

练习1 已知函数f(x)=x11+x2ex

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)若x1x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2<0

练习2 已知函数f(x)=exx,若x1x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2<0

练习3 已知函数f(x)=lnx12ax2+(a1)x32a(a>3),若x1x2,且f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2

提示 对于已知f(x1)=f(x2),证明x1+x2>m时,尝试构造函数g(x)=f(mx),xm2,比较f(x)g(x)的大小关系,再通过f(x2)=f(x1)=g(mx1)以及“g(mx1)f(mx1)的大小关系”得到f(mx1)f(x2)的大小关系,最终得到mx1x2的大小关系,得到结论.

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每日一题[389]桥梁函数》有3条回应

  1. Seeker说:

    固然,老师,这样做差是这类问题的通法,但是遇到特别麻烦的函数就不好处理了,那样的话,还有他路可走吗?

  2. Seeker说:

    那么,老师,要是遇到类似x1*x2大于e平方这样的,构造自变量商的函数似乎不好用。。那怎么去做呢

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