每日一题[389]桥梁函数

编者按　本文作者凯凯，由meiyun编辑修改．

已知函数$f(x)=\dfrac {x-1}{\mathrm{e}^x}$．

（1）求函数$f(x)$的单调区间和极值；

（2）若$x_1\ne x_2$，且$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2>4$．

解　（1）比较简单，对$f(x)$求导得$$f'(x)=\dfrac {2-x}{\mathrm e^x},$$所以$f(x)$在$(-\infty,2)$上单调递增，在$(2,+\infty)$上单调递减，有极大值$f(2)=\mathrm e^{-2}$，无极小值；

下面分析（2）：我们知道对于二次函数来说，如果两个自变量对应函数值相等，那么这两个自变量的和为定值，这是由二次函数的对称性与单调性决定的．本题中函数的单调性与二次函数类似，我们先从直观上理解一下第（2）题结论的含义：

由（1）知，在函数$f(x)$的图象上，$x=2$相当于山顶，在$x=2$的两侧，函数图象的“陡峭程度”是不同的（因为分母$\mathrm e^x$对应的值不同），左侧更陡峭，右侧更平缓，所以这两侧对应的点如果在同一海拔上，则右侧的点离山顶的“水平”距离更远．好像两条下山的路，更平缓的路更远一样．

要严格证明这个问题，我们可以将$x=2$左侧的图象对称到右侧去，比较对称过去的函数与原来函数的大小关系得到结果．函数$f(x)$的草图如下：

令$$\begin{split} h(x)&=f(4-x),x\geqslant 2,\\F(x)&=f(x)-h(x)=\dfrac {x-1}{\mathrm e^x}-\dfrac {3-x}{\mathrm e^{4-x}},x\geqslant 2\end{split} $$则$$F'(x)=(2-x)\left(\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{x-4}\right )\geqslant 0,$$所以$F(x)$在$[2,+\infty)$上单调递增，而$F(2)=0$，所以$F(x)\geqslant 0$，即$$f(x)>h(x)=f(4-x).$$不妨设$x_1<x_2$，则有$x_1<2<x_2$，于是$$f(x_2)=f(x_1)=h(4-x_1)<f(4-x_1),$$而$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递减，所以$x_2>4-x_1$，即$x_1+x_2>4$．

本题通过“桥梁”$h(x)$将不在同一个单调区间的自变量转移到同一个单调区间中去，从而可以通过函数值的大小关系得到自变量的大小关系，这个思路也是此类问题的常用思路．

下面给出一组练习：

练习1　已知函数$f(x)=\dfrac {x-1}{1+x^2}{\mathrm{e}^x}$．

（1）求函数$f(x)$的单调区间和极值；

（2）若$x_1\ne x_2$，且$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2<0$．

练习2　已知函数$f(x)=\mathrm e^x-x$，若$x_1\ne x_2$，且$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2<0$．

练习3　已知函数$f(x)=\ln x-\dfrac 12ax^2+(a-1)x-\dfrac {3}{2a}(a>3)$，若$x_1\ne x_2$，且$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2>2$．

提示　对于已知$f(x_1)=f(x_2)$，证明$x_1+x_2>m$时，尝试构造函数$$g(x)=f(m-x),x\geqslant \dfrac m2,$$比较$f(x)$与$g(x)$的大小关系，再通过$$f(x_2)=f(x_1)=g(m-x_1)$$以及“$g(m-x_1)$与$f(m-x_1)$的大小关系”得到$f(m-x_1)$与$f(x_2)$的大小关系，最终得到$m-x_1$与$x_2$的大小关系，得到结论．