每日一题[383]思维落地

数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=r\cdot a_n+r$（$n\in\mathcal {N}^*$，$r\in\mathcal {R}$且$r\ne 0$），则“$r=1$”是“数列$\{a_n\}$成等差数列”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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正确答案是 A．

解　充分性显然；

考虑必要性，若数列$\{a_n\}$是等差数列，则

$$a_{n+1}-a_n=(r-1)a_n+r$$ 为定值，此时有$a_n$为定值或$r=1$，解得 $$r=\dfrac 12\lor r=1.$$

更直接的思考方式为考虑通项：

若数列$\{a_n\}$是等差数列，则$a_n=1+(n-1)d$，从而有

$$1+nd=r[1+(n-1)d]+r,$$ 整理得 $$(1-r)dn+(dr-2r+1)=0,$$ 因为这个式子对所有$n$都成立，所以有 $$\begin{cases} (1-r)d=0,\\dr-2r+1=0,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases} r=1,\\d=1, \end{cases} \lor\begin{cases} d=0,\\r=\dfrac 12. \end{cases}$$

在一个数列中，判断一个条件与另一个条件之间的充要性关系是经常考查的一类题型，这类问题通常难度不大，但是比较容易出错，往往我们得到一个差不多的中间过程就直接给出结果，没有让自己的思维过程或计算过程进行到底，才是出错的真正原因．

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下面给出一组练习（选项同上）：

对于数列的$\{a_n\}$，

（1）“$a_{n+1}>|a_n|(n=1,2,\cdots)$”是“$\{a_n\}$为递增数列”的（　　）

（2）若$\{a_n\}$是首项大于零的等比数列，则“$a_1<a_2$”是“$\{a_n\}$为递增数列”的（　　）

（3）若$\{a_n\}$是等比数列，则“$a_1<a_2<a_3$”是“$\{a_n\}$为递增数列”的（　　）

（4）若$\{a_n\}$是公比为$q$的等比数列，则“$a_1>0$，且$q>1$”是“$\{a_n\}$为递增数列”的（　　）

（5）若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则“$a_1>0$”是“$S_3>S_2$”的（　　）

答案　ACCAC．