2010年高考天津卷理科数学第16题（填空压轴题）：
设函数\(f(x)=x^2-1\)，对任意\(x\in\left[\dfrac32,+\infty\right)\)，\(f\left(\dfrac xm\right)-4m^2f(x)\leqslant f(x-1)+4f(m)\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是_____．
正确答案是\(\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt3}2\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt3}2,+\infty\right)\)．
解 题中不等式即\[\left(\dfrac xm\right)^2-1-4m^2(x^2-1)\leqslant (x-1)^2-1+4(m^2-1),\]我们将$m$与$x$进行分离，整理得\[\dfrac{1}{m^2}-4m^2\leqslant 1-\dfrac 2x-\dfrac 3{x^2},\]这个不等式对任意\(x\in\left[\dfrac32,+\infty\right)\)恒成立，只需要左边小于等于右边的最小值．而右边等于$$-3\left(\dfrac 1x+\dfrac 13\right )^2+\dfrac 43,\dfrac 1x\in\left(0,\dfrac 23\right ],$$故最小值为$-\dfrac 53$，从而有\[\dfrac{1}{m^2}-4m^2\leqslant -\dfrac53.\]解得\[m\leqslant -\dfrac{\sqrt3}2\lor m\geqslant \dfrac{\sqrt3}2.\]含参问题中如何处理参数一般有两个步骤，先集中参数，再分别进行处理．如何集中参数？常见的手段是“除以某个式子”（当然要考虑这个式子的正负或者是否为零）．比如，要分离\(ax^2+(a^2+1)x-4a\)中的$a$与$x$．我们可以两边同时除以\(a\)，从而得到\[x^2+\left(a+\frac 1a\right)x-4.\]对于恒成立问题求参数的取值范围，大部分都可以用分离变量法来解决（有时分离需要变形技巧）．
下面给出一道练习：
是否存在实数\(a\)，使得当\(x\in \mathcal R\)时，不等式\(a+\cos2x<5-4\sin x+\sqrt{5a-4}\)恒成立？若存在，求出\(a\)的范围；若不存在，说明理由．
答案 \(\left[\dfrac45,8\right)\)
相关的更多内容请参见每日一题[179] 分离变量、每日一题[234]分离变量．