每日一题[371]似是而非

2012年全国高考四川理科第16题（填空压轴题）：

设$a$为正整数，数列$\{x_n\}$满足$x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\dfrac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ](n\in\mathcal{N}^*)$，其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数，现有下列命题：

①当$a=5$时，数列$\{x_n\}$的前$3$项依次为$5,3,2$；

②对数列$\{x_n\}$都存在正整数$k$，当$n\geqslant k$时，总有$x_n=x_k$；

③当$n\geqslant 1$时，$x_n>\sqrt a-1$；

④对某个正整数$k$，若$x_{k+1}\geqslant x_k$，则$x_k=\left[\sqrt{a}\right ]$．

其中真命题有_____．（写出所有真命题的编号）

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正确答案是①③④．

解　这是一个递推的数列．命题①是为了让我们熟悉定义，容易计算知①正确；

光有$a=5$还不够，我们对$\{x_n\}$仍然很陌生，再取几个$a$的值计算试试：

$a=1$时，$\{x_n\}$为$1,1,1,\cdots$；

$a=2$时，$\{x_n\}$为$2,1,1,1,\cdots$；

$a=3$时，$\{x_n\}$为$3,2,1,2,1,2,\cdots$；

$a=4$时，$\{x_n\}$为$4,2,2,2,\cdots$；

我们再取$a$为比较大的值试试：

$a=9$时，$\{x_n\}$为$9,5,3,3,3,\cdots$；

$a=10$时，$\{x_n\}$为$10,5,3,3,3,\cdots$；

这说明②错误，下面分析③④：

观察命题③④，都包含$[\sqrt{a}]$，结合上面的各个数列的情况，我们猜测：数列$\{x_n\}$除了一些特殊的情况外，都是递减到某项，然后为常数列$[\sqrt a],[\sqrt a],\cdots$的．根据此猜测③④应该正确，尝试证明：

对于③，当$n=1$时，显然有$$x_1=a\geqslant \sqrt a>\sqrt a-1;$$而$$\begin{split}x_{n+1}&=\left[\dfrac {x_n+\left[\dfrac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ]\\&\geqslant \dfrac {x_n+\left[\frac{a}{x_n}\right ]-1}{2}\\&>\dfrac {x_n+\frac {a}{x_n}-2}{2}\\&\geqslant\sqrt a-1,\end{split}$$所以当$n\geqslant 2$时，$x_n>\sqrt a-1$．

对于④，$x_{k+1}\geqslant x_k$即\[\begin{split}&\left[\dfrac {x_k+\left[\frac {a}{x_k}\right ]}{2}\right ]-x_k\geqslant 0\\\Rightarrow&\dfrac{x_k+\left[\frac{a}{x_k}\right]}{2}-x_k\geqslant 0\\\Rightarrow&\left[\dfrac {a}{x_k}\right ]\geqslant x_k\\\Rightarrow&\dfrac{a}{x_k}\geqslant x_k\\\Rightarrow&x_k\leqslant \sqrt{a}.\end{split}\]又由③$x_n>\sqrt a-1$，所以$x_k=[\sqrt{a}]$．

所以正确答案是①③④．

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我们可以看出这个数列开始一直单调递减，且速度非常快（接近公比为$\dfrac 12$的等比数列），递减到“首项$a$的平方根取整$[\sqrt{a}]$”附近时，开始为常数或者在$[\sqrt{a}]$与$[\sqrt{a}]+1$之间震荡．因为出现震荡的值太少，所以本题的②容易被认为是正确的，但事实上，取不出反例不能证明命题的正确，有时直接构造不出反例，可以先分析其它条件，更多地了解规律后有意识的进行构造．比如在本题中，可能存在某个数列，当$x_k=[\sqrt{a}]$时，会有$$x_{k+1}=\left[\dfrac {[\sqrt a]+\left[\dfrac {a}{[\sqrt a]}\right ]}{2}\right ]>[\sqrt a],$$我们希望$\dfrac{a}{[\sqrt a]}>[\sqrt a]$，并且希望两边的差距尽量地大，所以我们尝试取$a=n^2-1$，如：

$a=8$时，$\{x_n\}$为$8,4,3,2,3,2,\cdots$；

$a=15$，$\{x_n\}$为$15,8,4,3,4,3,\cdots$．

可以证明只有当$a=n^2-1,n\geqslant 2$时，才会出现震荡．