每日一题[356]算两次

某次测试成绩满分为$150$分，设$n$名学生的得分分别为$a_1,a_2,\cdots,a_n$（$a_i\in\mathcal{N}$，$1\leqslant i\leqslant n$），$b_k$（$1\leqslant k\leqslant 150$）为$n$名学生中得分至少为$k$分的人数．设$M$为$n$名学生的平均成绩，记$N=\dfrac {b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}$，则$M$与$N$的大小关系为__________．

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正确答案是$M=N$．

解　我们需要搞清楚$N$的含义，我们将$b_k$进行拆分，记这$n$名学生中得分为$i$分的人数为$c_i$，则$0\leqslant i\leqslant 150$，且

$$c_0+c_1+c_2+\cdots+c_{150}=n.$$ 由题意知 $$b_k=c_k+c_{k+1}+\cdots+c_{150},$$ 于是 $$\begin{split} &{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}\\=&(c_1+c_2+\cdots+c_{150})+(c_2+c_3+\cdots+c_{150})+\cdots+c_{150}\\=&c_1+2c_2+3c_3+\cdots+150c_{150}.\end{split}$$ 这$n$名同学的得分总和可以用两种方法计算得到，一是将每名同学的得分直接相加，即 $$a_1+a_2+\cdots+a_n=nM.$$ 另一种方法是先将得分按分数分类，然后每个分数乘以得到这个分数的人数，即 $$0\cdot c_0+1\cdot c_1+2\cdot c_2+\cdots+150c_{150}=b_1+b_2+\cdots+b_{150}.$$ 从而有 $$nM=b_1+b_2+\cdots+b_{150}.$$ 所以有$M=N$．

将一个量用两种不同的方法分别计算一次，由结果相同得到一个等式，就被称为算两次的思想，在解决某些问题时非常有效．