每日一题[333]分类与分步

2015高考数学广东文10（选择压轴题）：

若集合$E=\left\{\left(p,q,r,s\right) \left|\right. 0\leqslant p<s\leqslant 4,0\leqslant q<s\leqslant 4,0\leqslant r<s\leqslant 4\ \text{且} \ p,q,r,s\in {\mathcal{N}}\right\}$，$F=\left\{\left(t,u,v,w\right) \left|\right. 0\leqslant t<u\leqslant 4,0\leqslant v<w\leqslant 4\ \text{且} \ t,u,v,w\in {\mathcal{N}}\right\}$，用${\mathrm{card}}\left(X\right)$表示集合$X$中元素个数，则${\mathrm{card}}\left(E\right)+{\mathrm{card}}\left(F\right)=$____．

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正确答案是$200$．

解　$E$中的元素个数可以按$s$的取值分类计数，而$F$中的元素个数可以先在$\{0,1,2,3,4\}$中选取两组数(每组数包含$2$个数字)，然后将两组数分别比较大小后分配给$t,u,v,w$即可．因此

$${\rm card}(E)+{\rm card}(F)=1^3+2^3+3^3+4^3+{\rm C}_5^2\cdot{\rm C}_5^2=200.$$

解决计数问题的关键在于抓住问题的本质，然后用分类与分步规划出完成它的步骤．

在本题中集合$E$中关键条件是$s$是其中唯一的最大的数，$p,q,r$只要比$s$小就可以，所以首先确定$s$，而$s$的大小会影响下一步的方法数，所以需要先对$s$进行分类，之后分步即可；集合$F$中的元素可以分两组$t,u$与$u,w$分别考虑，这是互相不影响的两步，而每步的方法数就相当于从$5$个数中任选$2$个，于是本题的结论很容易就得到了．

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下面给出一道练习：

将数字$1,2,3,4,5,6$拼成一列，记第$i$个数为$a_i(i=1,2,\cdots,6)$，若$a_1\ne 1$，$a_3\ne 3$，$a_5\ne 5$，且$a_1<a_3<a_5$，则不同的排列方法种数为____．

答案　$30$

提示　第一步排$a_1,a_3,a_5$，它们的顺序固定，只要选出数即可，直接列举

$$2,4,6;2,5,6;3,4,6;3,5,6;4,5,6;$$ 第二步排$a_2,a_4,a_6$，是第一步选完剩下的$3$个数的全排列，有$6$种．用乘法原理可以得到结果．

更多相关问题见每日一题[314]渐开数．