每日一题[329]定义 VS 方程

已知椭圆$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$，$F_1,F_2$是椭圆的左、右焦点，$A,C$是椭圆上关于$x$轴对称的两点，$B$点为短轴的端点，线段$AB$恰过右焦点，如图，有$AB\perp CF_1$，求椭圆的离心率．

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正确答案是$\dfrac {\sqrt 5}{5}$．

分析　本题思路很多，可以联立直线$BF_2$与椭圆的方程求出$A$点坐标，通过垂直得到关于$a,b,c$的方程，求得离心率；也可以设出点$C$的坐标，表达出点$A$的坐标，通过坐标满足椭圆方程、$A,B,F_2$三点共线以及垂直关系得到三个方程去求解．

不管用哪种方法，都需要表达出几个关键条件，尤其是$C$在椭圆上这个条件，联立方程是为了表达这个条件，坐标满足这个方程也是为了表达这个条件，但这样计算起来都相当复杂，有没有对这个条件更好的表达方式？

解　连接$BF_1,AF_1$，易知下图中加“$\cdot$”的角都相等，设为$\theta$， 易证

$$\angle AF_1B=90^\circ.$$ 设$AF_2=x$，则 $$AF_1=2a-x,$$ 在$\mathrm{Rt}\triangle ABF_1$中，有 $$(2a-x)^2+a^2=(a+x)^2,$$ 解得 $$x=\dfrac {2a}{3}.$$ 于是 $$\cos{2\theta}=\dfrac  35,$$ 即 $$1-2\sin^2\theta=\dfrac 35,$$ 解得 $$\sin\theta =\dfrac {\sqrt 5}{5}.$$ 从而椭圆的离心率 $$e=\dfrac ca=\sin\theta=\dfrac {\sqrt 5}{5}.$$ 本题表达点$C$（或点$A$）在椭圆上用的是椭圆的定义，即椭圆上一点到两个焦点的距离和为定值$2a$，很多与焦点相关的问题，利用椭圆的定义比利用椭圆的方程更直接有效．同一个条件有不同的表达方式，抓住条件的本质，有意识地去选择对解题更有效和简捷的表达方式，会让我们更好地理解各种方法的本质，提升我们的解题能力．

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下面给出一道练习．

已知椭圆$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$，$F_1(-c,0),F_2(c,0)$是椭圆的左、右焦点，$P$是椭圆上一点，且$\angle PF_1F_2=\theta$，求$PF_1$的长．

答案　$\dfrac {b^2}{a-c\cdot\cos\theta}$．

提示　设$PF_1=m$，则$PF_2=2a-m$，在$\triangle PF_1F_2$中应用余弦定理即可解得． 更多类似问题见每日一题[322]三点共线．