每日一题[312]三管齐下

已知$x\in \mathcal{R}$，用$[x]$表示不超过$x$的最大整数，记$\{x\}=x-[x]$，若$a\in(0,1)$，则$\{a\}$与$\left\{a+\dfrac 12\right \}$的大小关系是（　    ）

A．不确定（与$a$的值有关）

B．$\{a\}<\left\{a+\dfrac 12\right\}$

C．$\{a\}=\left\{a+\dfrac 12\right\}$

D．$\{a\}>\left\{a+\dfrac 12\right\}$

正确答案是 A．

解　思路一（文字语言） 对于正数$x$，$[x]$表示不超过$x$的最大整数，而 $$\{x\}=x-[x]$$ 即为$x$的小数部分．考虑到$a\in(0,1)$，于是$a,a+\dfrac 12$均为正数，显然$a$与$a+0.5$的小数部分的大小关系不确定． 数学中很多概念与性质可以用文字语言去理解，这样的文字层面的理解有时会更容易抓住这些内容的本质．而对于新定义的概念或性质，如果通过文字语言理解了本质，会帮助我们找到解决问题的方向．

思路二（符号语言） 由题意，当$[x]=k$时， $$x\in[k,k+1),k\in \mathcal{Z}.$$ 用作差法去比较$\{a\}$与$\left\{a+\dfrac 12\right\}$的大小关系： $$\begin{eqnarray}\begin{split} \{a\}-\left\{a+\dfrac 12\right\}&=\left(a-[a]\right)-\left(a+\dfrac 12-\left[a+\dfrac 12\right]\right )\\&=\left[a+\dfrac 12\right ]-[a]-\dfrac 12.\end{split} \end{eqnarray}$$ 因为$a\in(0,1)$，所以 $$\begin{eqnarray}[a]=0.\end{eqnarray}$$ 因为$a+\dfrac 12\in\left(\dfrac 12,\dfrac 32\right )$，所以 $$\begin{eqnarray} \left[a+\dfrac 12\right ]=\begin{cases} 0,\dfrac 12<a+\dfrac 12<1,\\1,1\leqslant a+\dfrac 12<\dfrac 32.\end{cases} \end{eqnarray}$$ 由(1)(2)(3)得 $$\{a\}-\left\{a+\dfrac 12\right \}=\begin{cases} -\dfrac 12,0<a<\dfrac 12,\\\dfrac 12,\dfrac 12\leqslant a<1.\end{cases}$$ 因此$\{a\}$与$\left\{a+\dfrac 12\right\}$的大小关系不确定． 数学中严密的推理过程离不开符号语言，熟练地掌握符号语言，并用符号语言书写出推理的过程是数学的一项基本要求．

思路三（图形语言） $y=\{x\}$是关于$x$的函数，通过图象掌握函数$y=\{x\}$． 先作出$y=[x]$的图象，如下： 于是我们得到函数$g(x)=\{x\}$的图象如下： 题意即比较函数 $$g(x)=\{x\}$$ 和函数 $$h(x)=\left\{x+\dfrac 12\right\}$$ 的图象在$x\in(0,1)$时的位置关系．如图，$y=h(x)$的图象可以由$y=g(x)$的图象向左平移$\dfrac 12$个单位得到， 可以发现当$0<x<\dfrac 12$时，有 $$\left\{x+\dfrac 12\right\}>\{x\};$$ 当$\dfrac 12\leqslant x<1$时，有 $$\left\{x+\dfrac 12\right\}<\left\{x\right\}.$$ 草图是解决与函数相关的问题的一件很有威力的武器，常握一般的函数的草图的画法是高中的一项重要技能．

本题从三个角度出发，得到了三种思路，这三种思路都是解决函数问题的常见思考角度，最后给出一道练习，大家可以从三个角度进行思考：

下面关于函数$f(x)=\{x\}^2$的四个命题中，正确的有_____．

①函数$y=f(x)$的定义域为$\mathcal{R}$，值域为$[0,1]$；

②函数$y=f(x)$的图象关于$y$轴对称；

③函数$y=f(x)$是周期函数，最小正周期为$1$；

④函数$y=f(x)$在$(0,1)$上是增函数．

答案　③④．

提示　$\{x\}$可以理解成数轴上表示$x$的点离它左边（包括它自身）最近的整点的距离，$f(x)$的图象如下：