每日一题[301] 三元代数式最值

这是在QQ群中国数学解题研究会中热议的一道最值问题：

已知$a,b,c>0$，且$a^2+b^2+4c^2=1$，求$ab+2ca+3\sqrt 2bc$的最大值．

解    问题即

已知$a,b,c>0$，且$a^2+b^2+c^2=1$，求$ab+ca+\dfrac 3{\sqrt 2}bc$的最大值．

方法一    冻结变量法

冻结$a$，则 $$b^2+c^2=1-a^2,$$ 而 $$\begin{split} ab+ca+\dfrac{3}{\sqrt 2}bc&\leqslant a\cdot \sqrt{2(b^2+c^2)}+\dfrac{3}{\sqrt 2}\cdot\dfrac{b^2+c^2}{2}\\&=a\cdot\sqrt{2(1-a^2)}+\dfrac{3}{2\sqrt 2}\cdot (1-a^2),\end{split}$$ 等号当$b=c$时取得．

令$a=\cos\theta$，其中$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则上式即 $$\begin{split} \sqrt 2\cos\theta\cdot\sin\theta+\dfrac{3}{2\sqrt 2}\cdot\sin^2\theta&=\dfrac{\sqrt 2}2\sin 2\theta -\dfrac{3}{4\sqrt 2}\cos 2\theta+\dfrac{3}{4\sqrt 2}\\&\leqslant \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2+\left(\dfrac{3}{4\sqrt 2}\right)^2}+\dfrac{3}{4\sqrt 2}\\&=\sqrt 2,\end{split}$$ 等号可以取得．

容易验证$a=\dfrac{1}{\sqrt 5}$，$b=c=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 5}$时等号均可取得，因此所求的最大值为$\sqrt 2$．

方法二    判别式法

我们希望得到使得 $$\lambda\cdot (a^2+b^2+c^2)-\left(ab+ca+\dfrac{3}{\sqrt 2}bc\right)\geqslant 0$$ 恒成立的最小$\lambda$，其中$\lambda$为参数，且$\lambda >0$．

关于$a$整理，有 $$\lambda\cdot a^2-(b+c)\cdot a+\lambda\left(b^2+c^2\right)-\dfrac 3{\sqrt 2}bc\geqslant 0,$$ 于是判别式 $$(b+c)^2-4\lambda\cdot\left[\lambda\left(b^2+c^2\right)-\dfrac{3}{\sqrt 2}bc\right] \leqslant 0,$$ 关于$b$整理，有 $$\left(1-4\lambda^2\right)\cdot b^2+\left(2+6\sqrt 2\lambda \right)c\cdot b+\left(1-4\lambda ^2\right)\cdot c^2 \leqslant 0,$$ 于是$1-4\lambda ^2<0$，即$\lambda >\dfrac 12$，且判别式 $$\left(2+6\sqrt 2\lambda\right)^2\cdot c^2-4\left(1-4\lambda^2\right)^2\cdot c^2\leqslant 0,$$ 整理得 $$\left(4\lambda +\sqrt 2\right)\cdot\left(\lambda -\sqrt 2\right) \geqslant 0,$$ 于是$\lambda \geqslant \sqrt 2$．

容易验证$a=\dfrac{1}{\sqrt 5}$，$b=c=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 5}$时等号可取得，因此所求的最大值为$\sqrt 2$．

注一   事实上，方法二也是嵌入不等式的证明方法．

嵌入不等式    对任意实数$x,y,z$均有 $$x^2+y^2+z^2\geqslant 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B,$$ 其中$A,B,C$是三角形的三个内角，等号成立当且仅当 $$x:y:z=\sin A:\sin B:\sin C.$$

因此，我们可以先寻找一个三角形$ABC$，使得 $$\cos A:\cos B:\cos C=\dfrac{3}{\sqrt 2}:1:1,$$ 设它们分别为$3m$，$\sqrt 2m$，$\sqrt 2m$，代入恒等式 $$\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C+2\cos A\cos B\cos C=1$$ 中，解得 $$m=\dfrac 14,$$ 从而原式的最大值为$\sqrt 2$．

注二    已知最值或者取等条件后的证明是容易的，如原题中，由柯西不等式有 $$\left(a^2+b^2+2c^2+2c^2\right)\cdot\left(b^2+8c^2+b^2+2a^2\right)\geqslant \left(ab+2ac+3\sqrt 2bc\right)^2,$$ 或者由均值不等式有 $$1=\dfrac 12a^2+\dfrac 14b^2+\dfrac 12a^2+c^2+\dfrac 34b^2+3c^2\geqslant \dfrac 1{\sqrt 2}\left(ab+2ac+3\sqrt 2bc\right).$$