每日一题[294] 数列的差分

2015年北京市海淀区高三期中理科数学试题第14题：

对于数列$\{a_n\}$，若对任意$m,n\in\mathcal N^*\land m\neq n$，都有$\dfrac{a_m-a_n}{m-n}\geqslant t$（$t$为常数）成立，则称数列$\{a_n\}$具有性质$P(t)$．

（1）若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n$，且具有性质$P(t)$，则$t$的最大值为_______；

（2）若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-\dfrac an$，且具有性质$P(10)$，则实数$a$的取值范围是_______．

正确答案是（1）$2$；（2）$[36,+\infty)$．

解    不妨设$m>n$，于是$P(t)$即 $$\forall m,n\in \mathcal N^*\land m>n,a_m-a_n\geqslant tm-tn,$$ 即 $$\forall m,n\in\mathcal N^*\land m>n,a_m-tm\geqslant a_n-tn,$$ 即$\{a_n-tn\}$是不减的数列．而数列$\{a_n-tn\}$的差分 $$\Delta\left(a_n-tn\right)=\Delta a_n-t,$$ 其中$n\in\mathcal N^*\land n\geqslant 2$．因此性质$P(t)$即数列$\{a_n\}$的差分$\{\Delta a_n\}$有下界$t$．

（1）考虑数列$\{a_n\}$的差分 $$\Delta a_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1},$$ 其中$n\in\mathcal N^*\land n\geqslant 2$，其最小值为$2$，因此$t$的最大值为$2$．

（2）数列$\{a_n\}$的差分 $$\begin{split} \Delta a_n&=n^2-\dfrac an-\left[(n-1)^2-\dfrac{a}{n-1}\right]\\&=2n-1+\dfrac{a}{n(n-1)}, \end{split}$$ 根据题意，有 $$\forall n\in\mathcal N^*\land n\geqslant 2,2n-1+\dfrac{a}{n(n-1)}\geqslant 10,$$ 即 $$\forall n\in\mathcal N^*\land n\geqslant 2,a\geqslant n(n-1)(11-2n).$$

由散点连成的折线图

如图，可以根据零点$n=0,1,\frac{11}2$勾勒数列$b_n=n(n-1)(11-2n)$的散点图形成的折线形状．因此右侧的最大值为 $$\max\{b_2,b_3,b_4,b_5\}=\max\{14,30,36,20\}=36,$$ 于是$a$的取值范围是$[36,+\infty)$．

点评    类比于利用导数研究函数的单调性以及最值，数列$\{a_n\}$的差分 $$\Delta a_n=a_n-a_{n-1},$$ 其中$n\in\mathcal N^*\land n\geqslant 2$是研究数列的单调性，进而研究其有界性的重要方法（第（1）小题的解决）．同时在研究数列的性质时，也要充分利用其函数本质，在注意其离散特性的同时利用图象辅助解题（第（2）小题的解决）．