每日一题[284] 向量的两面性

对于向量问题，一般有利用坐标进行代数运算和利用几何图形发现规律两种不同的思考方向．例如

若点$A$在圆$C:(x-1)^2+(y+2)^2=4$上运动，点$B$在$y$轴上运动，则对定点$P(3,2)$而言，$\left|\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}\right|$的最小值为_______．

正确答案是$3$．

思考方向一   代数运算

方案一    直角坐标

设$A(x_1,y_1)$，$B(0,y_2)$，其中$-1\leqslant x_1\leqslant 3$，$y_2\in\mathcal R$，则 $$\begin{split} \left|\overrightarrow {PA}+\overrightarrow{PB}\right|&=\sqrt{(x_1-6)^2+(y_1+y_2-4)^2}\\&\geqslant \sqrt{(x_1-6)^2}\\&\geqslant 3,\end{split}$$ 等号当$x_1=3$且$y_2=6$时取得，因此所求最小值为$3$．

方案二    参数方程

设$A(1+2\cos\theta,-2+2\sin\theta)$，$B(0,t)$，其中$\theta,t\in\mathcal R$，则 $$\begin{split} \left|\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}\right|&=\sqrt{(2\cos\theta-5)^2+(t+2\sin\theta-6)^2}\\& \geqslant \sqrt {(2\cos\theta-5)^2}\\&\geqslant 3,\end{split}$$ 等号当$t+2\sin\theta-6=0$且$\cos\theta =1$时，即$\theta=0$且$t=6$时取得，因此所求最小值为$3$．

思考方向二    几何意义

解决问题的关键是将所求两个向量的和转化为一个向量，以方便研究它的长度．

方案一    平行四边形法则

取线段$AB$的中点$M$，则 $$\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}=2\overrightarrow {PM},$$ 于是问题转化为求向量$\overrightarrow {PM}$长度最大值的两倍．

接下来的问题就是思考$M$的轨迹．不妨先固定点$B$，这样$M$的轨迹就是一个半径为$1$的圆，然后再让$B$点在$y$轴上动起来，这样$M$的轨迹就是在两条平行直线间的部分，如图（也可以先固定$A$点）．

这样我们就得到了所求的最小值为$3$．

方案二    三角形法则

作$B$点关于$P$点的对称点$B'$，则 $$\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}=\overrightarrow {PA}-\overrightarrow {PB'}=\overrightarrow {B'A},$$ 于是问题转化问求向量$\overrightarrow {B'A}$长度的最小值．

事实上，$B'$的轨迹是$y$轴关于$P$点对称的直线$x=6$，于是问题转化成了圆$C$上的点到直线$x=6$的距离的最小值，不难求得为$3$．

当然，也可以作$A$点关于$P$点的对称点，本质相同．