练习题[3] 创新能力培养基础练习

1、 已知\(x,y\)为正数，且满足\[\begin{cases}1\leqslant\lg (xy^2)\leqslant 2,\\-1\leqslant\lg\dfrac{x^2}y \leqslant 2,\end{cases}\] 则\(\lg\dfrac{x^3}{y^4}\)的最大值是________．

2、三棱柱\(ABC-A'B'C'\)的底是边长为\(1\)的正三角形，高\(AA'=1\)，在\(AB\)上取一点\(P\)，设三角形\(PA'C'\)与底面所成的二面角为\(\alpha\)，三角形\(PB'C'\)与底面所成的二面角为\(\beta\)，则\(\tan (\alpha+\beta)\)的最小值为________．

3、已知\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数．设\(f(x)=\left[x[x]\right]\)，当\(x\in [0,n)\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)时，函数\(f(x)\)的值域中的元素个数\(a_n=\)________．

4、设椭圆\(\dfrac{x^2}4+y^2=1\)的左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，\(M\)为椭圆上异于长轴端点的一点，\(\angle F_1MF_2=2\theta\)，三角形\(MF_1F_2\)的内心为\(I\)，则\(MI\cdot\cos\theta=\)_________．

5、已知三点\(A(1,y_1)\)，\(B(2,y_2)\)，\(C(3,y_3)\)，其中\(y_1,y_2,y_3\in\{4,5,6,7,8,9\}\)，若对于三角形\(ABC\)的内心，存在实数\(\lambda\)，使得\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\lambda\overrightarrow{IB},\]则这样的三角形共有________个．

6、已知实数\(x,y\)满足\(3x^2+2y^2=6x\)，则\(2x^2+3y^2-4x-6y\)的取值范围是________．

7、设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一个排列，把排在\(a_i\)的左边且比\(a_i\)小的数的个数称为\(a_i\)的顺序数（\(i=1,2,\cdots,n\)）．例如，在排列\(6,4,5,3,1,2\)中\(5\)的顺序数为\(1\)．那么在\(1,2,3,4,5,6,7,8\)这\(8\)个数构成的排列中，\(8\)的顺序数为\(2\)，\(7\)的顺序数为\(3\)，\(5\)的顺序数为\(3\)的不同排列数有________．

参考答案

1、\(3\)

2、\(-\dfrac{8\sqrt 3}{13}\)

提示：\(P\)点在底面上的投影到\(A'C'\)和\(A'B'\)的距离相等

3、\(\dfrac 12n^2-\dfrac 12n+1\)

提示：当\(x\in [k,k+1)\)，其中\(k\in\mathcal N^*\)时，\(k^2\leqslant x[x]<k(k+1)\)，其中包含\(k\)个整数．

4、\(2-\sqrt 3\)

提示：将三角形的边用切点分成各自相等的线段，注意利用椭圆的定义．

5、\(30\)

提示：所求三角形为以\(AC\)为底的等腰三角形．

6、\(\left[\dfrac 52-3\sqrt 6,\dfrac 52+3\sqrt 6\right]\)

提示：将\(x^2-2x\)作为总体进行代换，注意取值范围．

7、\(144\)

提示：\(8\)一定在第三位，\(7\)一定在第五位，接下来考虑\(6\)的位置即可．