每日一题[40] 构造双曲线解题

已知三角形\(ABC\)中，\(AM\)为\(BC\)边上的中线（\(M\)在\(BC\)边上），且满足\(AM=AB-AC\)，\(BC=4\)．求点\(A\)到直线\(BC\)距离的最大值．

 如图建系．

设\(AM=2a\)，则\(A\)点为双曲线\[E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,a^2+b^2=4\qquad\cdots (1)\]和圆\[F:x^2+y^2=4a^2\qquad\cdots (2)\]的交点．

于是(2)式两边同时除以\(a^2\)再减去(1)式可得\[\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=3,\]进而\[y^2=\dfrac 32\cdot\dfrac{2}{\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}}\leqslant \dfrac 32\cdot\dfrac {a^2+b^2}2=3,\]等号当且仅当\(a=b=\sqrt 2\)时取得．

因此所求点\(A\)到直线\(BC\)的最大距离为\(\sqrt 3\)．

 点评    看到三角形的两边之差，自然联想到双曲线；看到三角形的两边之和，自然联想到椭圆．可以尝试用类似的方法解决下面的问题：

在三角形\(ABC\)中，\(AB+AC>2BC\)，求证 :\(B+C>2A\)．

如图，以\(B,C\)为焦点，\(2BC\)为长轴长作椭圆，则三角形\(ABC\)的顶点\(A\)在椭圆外部，因此\[A<\angle BA_1C\leqslant\angle BA_2C=\dfrac{\pi}3,\]也即\[B+C>2A.\]