每日一题[272] 一探究竟

2013年高考浙江卷理科数学第16题（填空压轴题）：

在三角形$ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$M$是$BC$的中点，若$\sin\angle BAM=\dfrac 13$，则$\sin\angle BAC=$_______．

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正确答案是$\dfrac{\sqrt 6}3$．

解    恰当的将条件$MB=MC$转化是解决问题的关键．考虑到$C$为直角，因此

$$\tan\angle BAC=2\tan\angle MAC,$$ 即 $$\begin{eqnarray}\tan\angle BAC=2\tan\left(\angle BAC-\angle BAM\right).\end{eqnarray}$$

由$\sin\angle BAM=\dfrac 13$，得

$$\tan\angle BAM=\dfrac{\sqrt 2}4,$$ 代入(1)中，得 $$\tan\angle BAC =2\cdot\dfrac{\tan\angle BAC-\frac{\sqrt 2}4}{1+\tan\angle BAC\cdot\frac{\sqrt 2}4},$$ 解得 $$\tan \angle BAC=\sqrt 2,$$ 于是可得 $$\sin\angle BAC=\dfrac{\sqrt 6}3.$$

在解方程的时候注意到方程关于$\tan\angle BAC$有重根．这就意味着如果随着条件$\angle BAM$的改变，那么$\tan \angle BAC$可能无解，可能有一解，也可能有两解．这样一来，就有对几何图形作进一步探索的必要了．

为了方便探索，可以将问题转化为当$\angle BAC$变化时，$\angle MAB$的取值范围．

如图，固定三角形$ABC$的斜边$AB$，使直角顶点$C$在圆上运动，此时$BC$边的中点$M$运动的轨迹也为圆（$M$的轨迹以$B$为中心缩小到$\dfrac 12$的结果）．

易得当直线$AM$与点$M$的轨迹相切时（图中的虚线位置）$\angle MAB$最大，其最大值恰为$\arcsin\dfrac 13$，即本文题中所给出的条件．

这样，我们就得到了当$\sin\angle MAB>\dfrac 13$时，无解；当$\sin\angle MAB=\dfrac 13$时，一解；当$0<\sin\angle MAB<\dfrac 13$时，两解．

注    题中推广问题以及图形构造由江苏无锡王举老师提供．