2013年高考浙江卷理科数学第16题（填空压轴题）：
在三角形\(ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(M\)是\(BC\)的中点，若\(\sin\angle BAM=\dfrac 13\)，则\(\sin\angle BAC=\)_______．
正确答案是\(\dfrac{\sqrt 6}3\)．
解 恰当的将条件\(MB=MC\)转化是解决问题的关键．考虑到\(C\)为直角，因此\[\tan\angle BAC=2\tan\angle MAC,\]即\[\begin{eqnarray}\tan\angle BAC=2\tan\left(\angle BAC-\angle BAM\right).\end{eqnarray}\]
由\(\sin\angle BAM=\dfrac 13\)，得\[\tan\angle BAM=\dfrac{\sqrt 2}4,\]代入(1)中，得\[\tan\angle BAC =2\cdot\dfrac{\tan\angle BAC-\frac{\sqrt 2}4}{1+\tan\angle BAC\cdot\frac{\sqrt 2}4},\]解得\[\tan \angle BAC=\sqrt 2,\]于是可得\[\sin\angle BAC=\dfrac{\sqrt 6}3.\]
在解方程的时候注意到方程关于\(\tan\angle BAC\)有重根．这就意味着如果随着条件\(\angle BAM\)的改变，那么\(\tan \angle BAC\)可能无解，可能有一解，也可能有两解．这样一来，就有对几何图形作进一步探索的必要了．
为了方便探索，可以将问题转化为当\(\angle BAC\)变化时，\(\angle MAB\)的取值范围．
如图，固定三角形\(ABC\)的斜边\(AB\)，使直角顶点\(C\)在圆上运动，此时\(BC\)边的中点\(M\)运动的轨迹也为圆（\(M\)的轨迹以\(B\)为中心缩小到\(\dfrac 12\)的结果）．
易得当直线\(AM\)与点\(M\)的轨迹相切时（图中的虚线位置）\(\angle MAB\)最大，其最大值恰为\(\arcsin\dfrac 13\)，即本文题中所给出的条件．
这样，我们就得到了当\(\sin\angle MAB>\dfrac 13\)时，无解；当\(\sin\angle MAB=\dfrac 13\)时，一解；当\(0<\sin\angle MAB<\dfrac 13\)时，两解．
注 题中推广问题以及图形构造由江苏无锡王举老师提供．