在周长为\(6\)的三角形\(ABO\)中，\(\angle AOB=60^\circ\)，点\(P\)在边\(AB\)上，\(PH\perp OA\)于\(H\)，且\(PH=\dfrac{\sqrt 3}2\)，\(OP=\dfrac{\sqrt 7}2\)，求\(OA\)．
我的方式是暴力计算．
易得\(P\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)，\(H(1,0)\)．设\(A(x,0)\)，\(B(y,\sqrt 3y)\)，则\[\begin{cases}x+2y+\sqrt{(x-y)^2+3y^2}=6\\\dfrac{\sqrt 3y-0}{y-x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}2-0}{1-x}\end{cases}\]
解得
为了求解OA的长度，我们首先利用给定的信息建立几何关系和方程。
1. 确定OH的长度和点P的坐标
已知PH ⊥ OA于H，PH = √3/2，OP = √7/2。
在直角三角形PHO中，根据勾股定理：
OH² + PH² = OP²
OH² + (√3/2)² = (√7/2)²
OH² + 3/4 = 7/4
OH² = 4/4
OH² = 1
OH = 1 (长度为正)
我们建立坐标系，将O设为原点(0,0)，OA沿x轴正方向。
由于∠AOB = 60°，我们可以将A点设为(OA, 0)，即(a, 0)。
B点坐标为(OB * cos60°, OB * sin60°)，即(b/2, b√3/2)。
由于PH ⊥ OA，H点在x轴上。P点在第一象限，所以H点在x轴正方向上，即H=(1, 0)。
因此，P点的坐标为(1, √3/2)。
2. 利用点P在边AB上建立a和b的关系
点P(1, √3/2)在边AB上。这意味着P点在线段AB上。
我们可以利用向量共线或斜率相等来表示P、A、B三点共线。
设向量AP = P - A = (1-a, √3/2)
设向量PB = B - P = (b/2 - 1, b√3/2 - √3/2) = (b/2 - 1, √3(b-1)/2)
由于P在线段AB上，向量AP和PB方向相同，且P点在A和B之间。
它们的斜率相等：
(√3/2) / (1-a) = (√3(b-1)/2) / (b/2 - 1)
1 / (1-a) = (b-1) / (b-2)
b-2 = (1-a)(2b-2)
b-2 = 2b - 2 - 2ab + 2a
0 = b + 2a - 2ab
即 2a + b = 2ab
从这个方程中解出b：
b = 2ab - 2a
b = 2a(b-1)
如果b=1，则2a+1=2a，得到1=0，矛盾。所以b≠1。
b = 2a / (2a - 1)
由于P在边AB上，P不能是A或B。
如果P=A，则PH=0，与PH=√3/2矛盾。
如果P=B，则PH = OB sin(∠AOB) = b sin(60°) = b√3/2。
√3/2 = b√3/2 => b=1。但b=1导致矛盾。
因此P严格在A和B之间。这意味着P的x坐标1必须介于a和b/2之间，P的y坐标√3/2必须介于0和b√3/2之间。
从y坐标看，√3/2 b > 1。
从b = 2a / (2a - 1) 且 b > 1，可以推断出2a-1 > 0，即a > 1/2。
3. 利用周长和余弦定理建立方程
设OA = a，OB = b，AB = c。
周长：a + b + c = 6
在△AOB中，根据余弦定理：
c² = a² + b² - 2ab cos(60°)
c² = a² + b² - ab
4. 联立方程求解a
从周长方程得到 c = 6 - a - b。
将b = 2a / (2a - 1)代入c的表达式：
c = 6 - a - 2a / (2a - 1)
c = (6(2a - 1) - a(2a - 1) - 2a) / (2a - 1)
c = (12a - 6 - 2a² + a - 2a) / (2a - 1)
c = (-2a² + 11a - 6) / (2a - 1)
将b = 2a / (2a - 1)代入c²的表达式：
c² = a² + (2a / (2a - 1))² - a * (2a / (2a - 1))
c² = a² + 4a² / (2a - 1)² - 2a² / (2a - 1)
c² = (a²(2a - 1)² + 4a² - 2a²(2a - 1)) / (2a - 1)²
c² = (a²(4a² - 4a + 1) + 4a² - 4a³ + 2a²) / (2a - 1)²
c² = (4a⁴ - 4a³ + a² + 4a² - 4a³ + 2a²) / (2a - 1)²
c² = (4a⁴ - 8a³ + 7a²) / (2a - 1)²
现在，将两个c²的表达式相等：
((-2a² + 11a - 6) / (2a - 1))² = (4a⁴ - 8a³ + 7a²) / (2a - 1)²
(-2a² + 11a - 6)² = 4a⁴ - 8a³ + 7a²
(2a² - 11a + 6)² = a²(4a² - 8a + 7)
展开左边：
(2a²)² + (-11a)² + 6² + 2(2a²)(-11a) + 2(2a²)(6) + 2(-11a)(6)
4a⁴ + 121a² + 36 - 44a³ + 24a² - 132a = 4a⁴ - 8a³ + 7a²
4a⁴ - 44a³ + 145a² - 132a + 36 = 4a⁴ - 8a³ + 7a²
将所有项移到一边：
0 = (4a⁴ - 4a⁴) + (-8a³ + 44a³) + (7a² - 145a²) + 132a - 36
0 = 36a³ - 138a² + 132a - 36
两边除以6：
6a³ - 23a² + 22a - 6 = 0
5. 求解三次方程
我们尝试寻找有理根p/q。
当a = 1/2时：
6(1/8) - 23(1/4) + 22(1/2) - 6 = 3/4 - 23/4 + 11 - 6 = -20/4 + 5 = -5 + 5 = 0
所以a = 1/2是一个根。
但是，我们之前推导出b = 2a / (2a - 1)。如果a = 1/2，则分母2a-1 = 0，导致b无定义。
这与2a+b=2ab => 1+b=b => 1=0矛盾。
因此a=1/2是一个增根，不是有效解。
由于a = 1/2是根，(2a - 1)是方程的一个因子。进行多项式除法：
(6a³ - 23a² + 22a - 6) / (2a - 1) = 3a² - 10a + 6
所以原方程可分解为：(2a - 1)(3a² - 10a + 6) = 0
另一个解来自二次方程 3a² - 10a + 6 = 0。
使用二次公式：
a = [-(-10) ± √((-10)² - 4 * 3 * 6)] / (2 * 3)
a = [10 ± √(100 - 72)] / 6
a = [10 ± √28] / 6
a = [10 ± 2√7] / 6
a = (5 ± √7) / 3
6. 验证解的有效性
我们得到两个可能的OA值：a₁ = (5 + √7) / 3 和 a₂ = (5 - √7) / 3。
我们需要验证这两个解是否满足所有条件：a, b, c为正，且满足三角形不等式，以及P在边AB上（即b > 1）。
情况1：a = (5 + √7) / 3
a ≈ (5 + 2.646) / 3 ≈ 2.549。
2a - 1 = 2(5 + √7)/3 - 1 = (10 + 2√7 - 3)/3 = (7 + 2√7)/3 > 0。
b = 2a / (2a - 1) = 2(5 + √7)/3 / ((7 + 2√7)/3) = 2(5 + √7) / (7 + 2√7)
b = 2(5 + √7)(7 - 2√7) / ((7 + 2√7)(7 - 2√7)) = 2(35 - 10√7 + 7√7 - 14) / (49 - 28)
b = 2(21 - 3√7) / 21 = 2 * 3(7 - √7) / 21 = 2(7 - √7) / 7
b ≈ 2(7 - 2.646) / 7 ≈ 2(4.354) / 7 ≈ 1.244。
由于b ≈ 1.244 > 1，此解满足P在AB上的条件。
c = (13a - 6) / (3(2a - 1)) (利用3a² - 10a + 6 = 0，得到a² = (10a-6)/3，代入c = (-2a² + 11a - 6) / (2a - 1)简化)
c = (13(5 + √7)/3 - 6) / (3(7 + 2√7)/3) = ( (65 + 13√7 - 18)/3 ) / (7 + 2√7)
c = (47 + 13√7) / (3(7 + 2√7)) = (47 + 13√7)(7 - 2√7) / (3(49 - 28))
c = (329 - 94√7 + 91√7 - 182) / 63 = (147 - 3√7) / 63 = (49 - √7) / 21
c ≈ (49 - 2.646) / 21 ≈ 2.207。
a, b, c均为正值。
周长验证：a + b + c = (5 + √7)/3 + 2(7 - √7)/7 + (49 - √7)/21
= (35 + 7√7 + 42 - 6√7 + 49 - √7) / 21 = 126 / 21 = 6。周长符合。
三角形不等式：
a+b ≈ 2.549 + 1.244 = 3.793 > c (2.207)
a+c ≈ 2.549 + 2.207 = 4.756 > b (1.244)
b+c ≈ 1.244 + 2.207 = 3.451 > a (2.549)
所有条件均满足，因此a = (5 + √7) / 3 是一个有效解。
在此情况下，OA ≈ 2.549，OH = 1，所以H点在O和A之间。
情况2：a = (5 - √7) / 3
a ≈ (5 - 2.646) / 3 ≈ 0.785。
2a - 1 = 2(5 - √7)/3 - 1 = (10 - 2√7 - 3)/3 = (7 - 2√7)/3 > 0 (因为7 = √49 > √28 = 2√7)。
b = 2a / (2a - 1) = 2(5 - √7)/3 / ((7 - 2√7)/3) = 2(5 - √7) / (7 - 2√7)
b = 2(5 - √7)(7 + 2√7) / ((7 - 2√7)(7 + 2√7)) = 2(35 + 10√7 - 7√7 - 14) / (49 - 28)
b = 2(21 + 3√7) / 21 = 2 * 3(7 + √7) / 21 = 2(7 + √7) / 7
b ≈ 2(7 + 2.646) / 7 ≈ 2(9.646) / 7 ≈ 2.756。
由于b ≈ 2.756 > 1，此解满足P在AB上的条件。
c = (13a - 6) / (3(2a - 1))
c = (13(5 - √7)/3 - 6) / (3(7 - 2√7)/3) = ( (65 - 13√7 - 18)/3 ) / (7 - 2√7)
c = (47 - 13√7) / (3(7 - 2√7)) = (47 - 13√7)(7 + 2√7) / (3(49 - 28))
c = (329 + 94√7 - 91√7 - 182) / 63 = (147 + 3√7) / 63 = (49 + √7) / 21
c ≈ (49 + 2.646) / 21 ≈ 2.459。
a, b, c均为正值。
周长验证：a + b + c = (5 - √7)/3 + 2(7 + √7)/7 + (49 + √7)/21
= (35 - 7√7 + 42 + 6√7 + 49 + √7) / 21 = 126 / 21 = 6。周长符合。
三角形不等式：
a+b ≈ 0.785 + 2.756 = 3.541 > c (2.459)
a+c ≈ 0.785 + 2.459 = 3.244 > b (2.756)
b+c ≈ 2.756 + 2.459 = 5.215 > a (0.785)
所有条件均满足，因此a = (5 - √7) / 3 也是一个有效解。
在此情况下，OA ≈ 0.785，OH = 1，所以A点在O和H之间。
结论
根据所有给定的条件，存在两个可能的OA长度。
OA的长度为 (5 + √7) / 3 或 (5 - √7) / 3。
Looking at this problem, I need to find the length OA in triangle ABO where the angle AOB = 60°, the perimeter is 6, point P is on side AB with PH ⊥ OA at H, PH = √3/2, and OP = √7/2.
Let me set up a coordinate system with O at the origin and OA along the positive x-axis. Then:
A is at (a, 0) where a = OA
B is at (b cos 60°, b sin 60°) = (b/2, b√3/2) where b = OB
Since P is on AB, I can write P = (1-t)A + tB for some parameter t ∈ [0,1]:
P = ((1-t)a + tb/2, tb√3/2)
From the condition PH ⊥ OA with PH = √3/2:
Since OA is along the x-axis, H has coordinates (x_P, 0), so:
PH = |y_P| = tb√3/2 = √3/2
This gives us tb = 1, so t = 1/b.
Therefore: P = (a(1-1/b) + 1/2, √3/2)
From the condition OP = √7/2:
OP² = [a(1-1/b) + 1/2]² + (√3/2)² = 7/4
Substituting (√3/2)² = 3/4:
[a(1-1/b) + 1/2]² + 3/4 = 7/4
[a(1-1/b) + 1/2]² = 1
This means: a(1-1/b) + 1/2 = ±1
Taking the positive case: a(1-1/b) + 1/2 = 1
This gives us: a(1-1/b) = 1/2
Therefore: a = b/(2(b-1))
Using the perimeter condition, I need to find AB using the law of cosines:
AB² = a² + b² - 2ab cos 60° = a² + b² - ab
Substituting a = b/(2(b-1)):
After algebraic manipulation, AB = b√(4b² - 10b + 7)/(2(b-1))
The perimeter condition a + b + AB = 6 becomes:
b/(2(b-1)) + b + b√(4b² - 10b + 7)/(2(b-1)) = 6
Simplifying this equation leads to:
7b³ - 35b² + 52b - 24 = 0
Testing for rational roots, I find that b = 1 is a root, allowing me to factor:
7b³ - 35b² + 52b - 24 = (b-1)(7b² - 28b + 24)
Solving 7b² - 28b + 24 = 0:
b² - 4b + 24/7 = 0
b = 2 ± 2√7/7
Since b = 1 makes a undefined, I use the other roots:
For b = 2 + 2√7/7: a = (5 - √7)/3
For b = 2 - 2√7/7: a = (5 + √7)/3
Both solutions are geometrically valid. However, examining the constraint that the point P must lie within the segment AB (0 ≤ t ≤ 1), both solutions satisfy this condition.
Therefore: OA = (5 - √7)/3 or OA = (5 + √7)/3
老师你好可爱，暴力计算。。。