每日一题[267] 狡兔四窟

已知对任何实数$x,y$，不等式

$$ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant 0$$ 恒成立，求常数$a$的取值范围．

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正确答案是$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$．

解    这是一个典型的代数变形的题目，从元、次、形的角度分析可以得到这样的初步印象：“二元”、“变元独立”、“对称”、“四次”、“对每个元都是二次”、“非齐次”、“左侧为多项式”、“不等式”．这样就可以得到一些可以试探的方向：

方向一    “二元”+“对称”+消元策略

有代价的消元（因为没有限制方程）减少变元，得到必要条件，然后探索充分性；

方向二    “对称”+“左侧为多项式”+整形策略

利用对称进行配方，将变元“扼杀”在平方式中；

方向三    “变元独立”+“对每个元都是二次”+消元策略

考虑到变元独立，因此可以考虑将某个元视为主元，转化为二次函数简化问题；

方向四    “不等式”+整形策略

考虑分离变量，将含参函数转化为不含参的函数简化问题．

接下来付诸实施：

方法一

观察代数式可以知道当$x,y$异号时比同号时更容易成立，于是只需要考虑$x,y$同号的情形．注意到变元对称，于是令$y=x$，有

$$ax^4-x^2+a-1\geqslant 0$$ 恒成立，不难解得 $$a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2.$$ 这样就得到了必要条件．

而另一方面，不等式左边

$$ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant a(xy)^2-xy+a-1,$$ 而$a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2$时，一元二次方程 $$ax^2-x+a-1=0$$ 的判别式的值小于等于零，于是$a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2$时可以保证 $$a(xy)^2-xy+a-1\geqslant 0.$$ 这样就验证了充分性．

因此常数$a$的取值范围是$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$．

方法二

注意到变元对称，于是不等式可以变形为

$$a\left(xy-\dfrac{1}{2a}\right)^2+(x-y)^2-\dfrac{1}{4a}+a-1\geqslant 0,$$ 其中$a\neq 0$（当$a=0$时显然不符合题意）．

进而可得

$$\begin{cases}a>0,\\-\dfrac{1}{4a}+a-1\geqslant 0,\end{cases}$$ 解得常数$a$的取值范围为$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$．

方法三

视$x$为主元，则

$$\forall x\in\mathcal R,\left(ay^2+1\right)\cdot x^2-3y\cdot x+y^2+a-1\geqslant 0,$$ 等价于 $$\Delta_1 =9y^2-4\left(ay^2+1\right)\left(y^2+a-1\right)\leqslant 0,$$ 整理后问题等价转化为 $$\forall y\in\mathcal R,4ay^4+\left(4a^2-4a-5\right)y^2+4(a-1)\geqslant 0.$$

令$t=y^2$，则问题转化为

$$\forall t\geqslant 0,4at^2+\left(4a^2-4a-5\right)t+4(a-1)\geqslant 0.$$ 容易推得$a>0$．记左侧为$g(t)$，则该二次函数的对称轴为$t=-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}$，于是$a$的取值范围由 $$\begin{cases}-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}\leqslant 0,\\g(0)\geqslant 0\end{cases}\lor\begin{cases}-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}>0,\\\Delta_2\leqslant 0,\end{cases}$$ 确定，解得常数$a$的取值范围为$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$．

方法四

分离变量，问题等价于

$$\forall x,y\in\mathcal R,a\geqslant \dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1},$$ 于是转化为求$\dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1}$的最大值．

事实上，我们有

$$\begin{split}\dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1}&\leqslant \dfrac{xy+1}{(xy)^2+1}\\&=\dfrac{xy+1}{(xy+1)^2-2(xy+1)+2}\\&=\dfrac{1}{(xy+1)+2/(xy+1)-2}\\&\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt 2-2}=\dfrac{1+\sqrt 2}{2},\end{split}$$ 等号当$x=y\land xy+1=\sqrt 2$时取得，于是常数$a$的取值范围是$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$．

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注    平时注意从多个角度思考代数变形问题，积累丰富的经验，就能做到解题时从容不迫，犹如“狡兔”一般从容面对题目的刁难．