每日一题[261] 画图也要有诀窍

已知函数$f(x)=ax-{\rm e}^x$，若存在实数$x$，使得$f(x)\geqslant 0$，求$a$的取值范围．

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正确答案是$(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)$．

解    分离变量法

问题即

$$\exists x\in  \mathcal R,ax-{\rm e}^x\geqslant 0,$$ 也即 $$\left(\exists x>0,a\geqslant \dfrac{{\rm e}^x}{x}\right)\lor \left(\exists x<0,a<\dfrac{{\rm e}^x}{x}\right),$$ 接下来需要绘制$g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}$的草图．

注意到函数$g(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$，且函数$g(x)$的导函数为

$$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}\cdot (x-1),$$ 于是函数在$(-\infty,0)$，$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增．

于是绘制草图，如图．需要注意的是代表定义域的四个区间端点处的函数值的估计．五个要点任何一点没有注意到都容易引起错误．

进而不难得到$a$的取值范围是$(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)$．

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半分离变量法

问题即

$$\exists x\in\mathcal R,ax\geqslant {\rm e}^x,$$ 于是计算函数$y={\rm e}^x$过原点的切线，作图如下：

不难得到$a$的取值范围是$(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)$．

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不分离变量法

函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=a-{\rm e}^x,$$ 于是需要按$a$进行讨论．

当$a<0$时，$f(x)$单调递减．考虑到$x\to -\infty$时，$f(x)\to +\infty$，而当$x\to +\infty$时，$f(x)\to -\infty$．于是符合题意；

当$a=0$时，$f(x)$单调递减．考虑到$x\to -\infty$时，$f(x)\to 0-$，而当$x\to +\infty$时，$f(x)\to -\infty$．于是不符合题意；

当$a>0$时，函数$f(x)$有极大值，同时也是最大值，为$f\left(\ln a\right)=a\left(\ln  a-1\right)$，根据题意，最大值不小于$0$，于是可以解得$a\geqslant {\rm e}$．

综上，$a$的取值范围是$(-\infty,0)\cup [{\rm e},+\infty)$．