每日一题[18] 巧转换，妙联立

有时候，好题并不是取决于题目的来源或是出处，而是自己的审美爱好．这点在平面解析几何试题中表现的尤其明显．一样的条件，不同的解读与转换方式会带来解法风格的截然不同．接下来的这道普普通通的试题就是典范．

已知直线$y=k(x+2)(k>0)$与抛物线$C:y^2=8x$相交于$A$、$B$两点，$F$为$C$的焦点．若$FA=2FB$，则$k=$________．

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正确的答案是$\dfrac{2\sqrt 2}3$，

设$M(-2,0)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则根据题意由

$$FA=2FB$$ 得 $$x_1+2=2(x_2+2)\qquad\cdots (1)$$

接下来，如何处理$M$、$A$、$B$三点共线变成了问题的关键．

法一（利用中点公式处理共线）

不难推知$B$平分线段$AM$，于是

$$\begin{cases}x_1+2=2(x_2+2)\\y_1=2y_2\end{cases}$$

其中由$y_1=2y_2$可得

$$x_1=4x_2\qquad\cdots (2)$$

综合(1)(2)，可解得$x_2=1$，进而$y_2=2\sqrt 2$，因此不难求得$k=\dfrac{2\sqrt 2}3$．

法二（利用直线与抛物线联立）

联立直线与抛物线，得

$$k^2(x+2)^2=8x,$$ 整理为 $$k^2(x+2)^2-8(x+2)+16=0.$$

由于

$$\dfrac{x_1+2}{x_2+2}=2,$$ 因此 $$8^2-\left(2+\dfrac 12+2\right)\cdot k^2\cdot 16=0,$$ 解得 $$k=\dfrac{2\sqrt 2}3.$$

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注    法二中利用了这个结论：

如果方程

$$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$$ 的两根之比为$\lambda(\lambda\neq 0)$，则 $$b^2-\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)ac=0.$$