圆幂定理的应用

已知锐角$\triangle ABC$中，以$BC$为直径作$\bigodot O$，$AD$切$\bigodot O$于点$D$，$E$为$AB$上一点，作$EF\perp AB$交$AC$延长线于点$F$，若$AB\cdot AC=AE\cdot AF$，求证：$AD=AE$．

---

证明    设$\bigodot O$与$AB$的交点为$G$，连接$CG$， 则

$$CG\perp AB.$$ 又 $$EF\perp AB,$$ 所以 $$\dfrac {AG}{AE}=\dfrac {AC}{AF}.$$ 而 $$AB\cdot AC=AE\cdot AF,$$ 所以 $$\dfrac {AE}{AB}=\dfrac {AG}{AE}.$$ 即 $$AE^2=AB\cdot AG.$$ 由圆幂定理，有 $$AD^2=AG\cdot AB,$$ 所以 $$AD=AE.$$