每日一题[221] 愚公移山

2014年高考数学湖北卷第10题（选择压轴题）：

已知函数$f(x)$是定义在$\mathcal R$上的奇函数，当$x\geqslant 0$时，$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(\left|x-a^2\right|+\left|x-2a^2\right|-3a^2\right)$．若$\forall x\in \mathcal R,f(x-1)\leqslant f(x)$，则实数$a$的取值范围是（        ）

A．$\left[-\dfrac 16,\dfrac 16\right]$

B．$\left[-\dfrac{\sqrt 6}6,\dfrac{\sqrt 6}6\right]$

C．$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$

D．$\left[-\dfrac{\sqrt 3}3,\dfrac{\sqrt 3}3\right]$

正确答案是B．

用分界点$x=a^2$和$x=2a^2$讨论，不难画出函数的草图．

题目中的条件$\forall x\in\mathcal R,f(x-1)\leqslant f(x)$的意思就是设法通过平移一个单位，把函数图象中的“山”（阴影部分）藏在右边的图象下方（包括边界）．

事实上，“山”的宽度为$6a^2$，于是由不等式 $$6a^2\leqslant 1$$ 解得实数$a$的取值范围是$\left[-\dfrac{\sqrt 6}6,\dfrac{\sqrt 6}6\right]$．

下面给出一道练习题．

设函数$f(x)$的定义域为$D$，若存在非零实数$l$使得对于任意$x\in M$（$M\subseteq D$），有$x+l\in D$，且$f(x+l)\geqslant f(x)$，则称$f(x)$为$M$上的$l$高调函数．

（1）如果定义域为$\left[-1,+\infty\right)$的函数$f(x)=x^2$为$\left[-1,+\infty\right)$上的$m$高调函数，那么实数$m$的取值范围是_______．

（2）如果定义域为$\mathcal R$的函数$f(x)$是奇函数，当$x\geqslant 0$时，$f(x)=\left|x-a^2\right|-a^2$，且$f(x)$为$\mathcal R$上的$4$高调函数，那么实数$a$的取值范围是_______．

（3）现给出下列命题：

①  函数$f(x)=\left(\dfrac 12\right)^x$为$\mathcal R$上的$1$高调函数；

②  函数$f(x)=\sin 2x$为$R$上的$\pi$高调函数；

③  如果定义域为$\left[-1,+\infty\right)$的函数$f(x)=x^2$为$\left[-1,+\infty\right)$上的$m$高调函数，那么实数$m$的取值范围是$\left[2,+\infty\right)$．

其中正确的命题是_______．

答案    （1）$m\geqslant 2$；（2）$\left[-1,1\right]$；（3）②③．