已知抛物线 $E: x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点为 $F$，$P(m,n)$（$m\neq 0$）是 $E$ 上的动点，过 $P$ 点作 $E$ 的切线 $l$，直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）交于 $A, B$ 两个不同的点，记 $AB$ 的中点为 $D$．设直线 $OD$（$O$ 为原点）与直线 $y=-\dfrac{p b^2}{a^2}$ 交于点 $Q$．
1、证明：直线 $y=-\dfrac{p b^2}{a^2}$ 与直线 $PQ$ 垂直；
2、若 $l$ 与 $FQ$ 交于点 $G$，且 $a=2 b$，$\triangle FPG$ 与 $\triangle PGQ$ 的面积之比 $\lambda$，证明：$1<\lambda<2$．
解析
1、设 $P(2pt,2pt^2),Q\left(x_Q,-\frac{pb^2}{a^2}\right)$，则切线 $l$ 的方程为\[2pt\cdot x=p(y+2pt^2),\]根据椭圆的垂径定理，有\[2t\cdot \left(-\frac{pb^2}{a^2x_Q}\right)=-\frac{b^2}{a^2}\iff x_Q=2pt,\]因此直线 $PQ$ 为竖直直线，命题得证．
2、根据抛物线的光学性质，有 $\angle FPG=\angle QPG$，于是\[\lambda=\frac{[\triangle FPG]}{[\triangle QPG]}=\frac{|FG|}{|QG|}=\frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{2pt^2+\frac p2}{2pt^2+\frac{pb^2}{a^2}}=\frac{8t^2+2}{8t^2+1},\]而 $t^2>0$，于是 $1<\lambda<2$，命题得证．