已知函数 $f(x)=(x+a)\ln x-\dfrac{ax^2}2-x$．
1、若 $a=0$，求 $f(x)$ 在零点处的切线方程；
2、讨论 $f'(x)$ 的单调性；
3、若 $f(x)$ 有三个极值点 $x_1,x_2,x_3$，求证：$x_1+x_2+x_3>\dfrac 1a+2a$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\ln x+\frac ax-ax,\]当 $a=0$ 时，有\[f(x)=x\ln x-x,\quad f'(x)=\ln x,\]于是函数 $f(x)$ 的零点为 $x=\mathrm e$，此时 $f'(\mathrm e)=1$，所求切线方程为 $y=x-\mathrm e$．
2、函数 $f'(x)$ 的导函数\[f''(x)=\frac{-ax^2+x-a}{x^2},\]讨论分界点为 $a=0,\frac 12$，记 $a_1=\frac{1-\sqrt{1-4a^2}}{2a}$，$a_2=\frac{1+\sqrt{1-4a^2}}{2a}$．
情形一 $a\leqslant 0$．此时函数 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；
情形二 $0<a<\frac 12$．此时函数在 $(0,a_1)$ 上单调递减，在 $(a_1,a_2)$ 上单调递增，在 $(a_2,+\infty)$ 上单调递减；
情形三 $a\geqslant \frac 12$．此时函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．
3、根据第 $(2)$ 小题的结论，此时 $a\in\left(0,\frac 12\right)$，设 $x_1<x_2<x_3$，则\[0<x_1<a_1<1=x_2<a_2<x_3,\]且 $x_1x_3=1$，$a_1a_2=1$，因此\[x_1+x_2+x_3=x_3+\frac{1}{x_3}+1>\left(x+\frac{1}{x}\right)\bigg|_{x=a_2}+1=a_2+\frac{1}{a_2}+1=a_2+a_1+1=\frac 1a+1>\frac 1a+2a,\]命题得证．