过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球面积之比的取值范围是[[nn]]．
答案 $\left(\dfrac 34,\dfrac 43\right)$．
解析 过正四面体 $ABCD$ 的棱 $AB$ 作截面 $ABE$，其中 $E$ 在 $CD$ 上，$\angle BEC=\theta$，$\theta$ 的取值范围是 $\left(\frac{\pi}3,\frac{\pi}2\right]$，根据一般四面体的外接球半径公式，三棱锥 $ABCE,ABDE$ 的外接球半径的平方之比\[\frac{R^2_C}{R^2_D}=\frac{1-\left(\frac 12\cos\theta+\frac{\sqrt 3}2\cdot \sin\theta\cdot \frac13\right)^2}{1-\left(-\frac 12\cos\theta+\frac{\sqrt 3}2\cdot \sin\theta\cdot \frac13\right)^2}=\frac{3-\sin^2\left(\theta+\frac{\pi}3\right)}{3-\sin^2\left(\theta-\frac{\pi}3\right)}:=f(\theta),\]在 $x\in\left(\frac{\pi}3,\frac{\pi}2\right]$ 上，分子单调递增，分母单调递减，于是外接球的半径的平方之比的下确界（无法取得）为 $f\left(\frac{\pi}3\right)=\frac 34$，因此所求范围是 $\left(\frac 34,\frac 43\right)$．
备注 若四面体 $ABCD$ 中，$\angle CAD=\alpha$，$\angle CBD=\beta$，二面角 $A-CD-B$ 的大小为 $\theta$，$CD=2m$，则其外接球半径\[R=\dfrac{m}{\sin\alpha\sin\beta\sin\theta}\cdot\sqrt{1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos\theta)^2}.\]